Um tubo circular de concreto
deverá conduzir uma descarga pluvial da área industrial máxima prevista de
. O declive será de
por 1000 m . Exige-se que a razão de submersão máxima seja de 90%. Determine a área livre de escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tubo circular de concreto que precisa conduzir uma certa quantidade de água da chuva. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Manning, que é uma ferramenta bem útil na hidráulica para calcular a vazão em canais e tubos. Precisamos saber o coeficiente de Manning, o declive do tubo, a vazão da água e a razão de submersão máxima para encontrar a área livre de escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação de Manning. Ela é dada por:
Onde:
- $ Q $ é a vazão (no caso, $ 2,36 \times 10^{-2} , m^3/s $)
- $ n $ é o coeficiente de Manning (0,015)
- $ A $ é a área da seção transversal do fluxo
- $ R $ é o raio hidráulico ($ A/P $), onde $ P $ é o perímetro molhado
- $ S $ é o declive do tubo (0,2 m por 1000 m, ou seja, 0,0002)
Passo 3
Como o tubo é circular, vamos relacionar a razão de submersão máxima com o diâmetro do tubo. A razão de submersão ($ f
y
D $):
Isso significa que a profundidade do fluxo não pode ser maior que 90% do diâmetro do tubo.
Passo 4
Vamos expressar a área livre de escoamento ($ A $) em termos do diâmetro do tubo e da razão de submersão. Para um tubo circular parcialmente cheio:
Como a razão de submersão é 0,9, a área submersa pode ser calculada usando geometria do círculo. Mas uma forma mais simples é considerar que, para a razão dada, a área livre é:
Com $ f = 0,9 $.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na Equação de Manning e resolvemos para $ D $. Primeiro, calculamos a expressão da área livre:
Calculando os termos:
Passo 6
Substituímos $ A $ na Equação de Manning:
Aqui, $ P $ é o perímetro molhado. Para tubo circular, $ P = \pi D $.
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para $ D $. Isso envolve trabalho algébrico e possivelmente métodos iterativos ou uso de calculadora. Para simplificar, vamos assumir um diâmetro aproximado e refinar:
Após cálculos (que podem ser feitos passo a passo com uma calculadora), encontramos que o diâmetro $ D $ necessário é aproximadamente 0,3 metros.
Resposta
A área livre de escoamento é aproximadamente 0,071 m².