Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. A gente vai trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente com a definição de limite para derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a fórmula básica dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Para simplificar a expressão dentro do limite, vamos calcular a diferença das frações:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite quando
tende a zero:
Passo 7
Então, a derivada da função
é:
Resposta
A derivada da função
é
. O domínio da função
é
com
, e o domínio da derivada
também é
com
.
Exercícios relacionados
Modelo de epidemia. Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença. Na construção do modelo que analisaremos, foram feitas as seguintes hipóteses:
a) Uma fração de uma determinada população tem uma doença infecciosa, então uma fração
(1x) não a tem.
b) Os membros desta população podem encontrar-se livremente (ao acaso).
c) A taxa de aumento de é proporcional a
e
. Em consequência destas hipóteses, temos que o modelo dado pela equação.
a) Uma fração
b) Os membros desta população podem encontrar-se livremente (ao acaso).
c) A taxa de aumento de
onde
é uma constante positiva.
Calcule:
Revisão de derivada. Calcule
nos seguintes casos:
e)
e)