Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
b) f(x) = 1/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. A gente vai trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente com a definição de limite para derivadas. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a fórmula básica dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação da função quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Para simplificar a expressão dentro do limite, vamos calcular a diferença das frações:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite quando tende a zero:

Passo 7

Então, a derivada da função é:

Resposta

A derivada da função é . O domínio da função é com , e o domínio da derivada também é com .

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Modelo de epidemia. Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença. Na construção do modelo que analisaremos, foram feitas as seguintes hipóteses:
a) Uma fração x de uma determinada população tem uma doença infecciosa, então uma fração S = (1x) não a tem.
b) Os membros desta população podem encontrar-se livremente (ao acaso).
c) A taxa de aumento de x é proporcional a x e S. Em consequência destas hipóteses, temos que o modelo dado pela equação.
d x/d t = r x(1-x)
onde r é uma constante positiva.
Calcule: -7 + 6
Revisão de derivada. Calcule y' nos seguintes casos:
e) y = (t^4 - 1) / (t^4 + 1)
-8 + 12