Modelo de epidemia. Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença. Na construção do modelo que analisaremos, foram feitas as seguintes hipóteses:
a) Uma fração x de uma determinada população tem uma doença infecciosa, então uma fração S = (1x) não a tem.
b) Os membros desta população podem encontrar-se livremente (ao acaso).
c) A taxa de aumento de x é proporcional a x e S. Em consequência destas hipóteses, temos que o modelo dado pela equação.
d x/d t = r x(1-x)
onde r é uma constante positiva.

Passo 1

No enunciado, estamos analisando um modelo simplificado de epidemia. Vamos trabalhar com equações diferenciais para entender como a fração de pessoas doentes na população muda ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente a resolução de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

A equação que descreve o modelo é:
Aqui:
  • representa a fração da população que está doente no tempo .
  • é uma constante positiva que indica a taxa de crescimento da doença.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial conhecida como equação logística, que aparece com frequência em modelos de crescimento populacional e de propagação de doenças. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação.

Passo 4

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso nos ajudará a encontrar uma expressão para em função de :

Passo 6

Para resolver a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais. Podemos decompor da seguinte forma:
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Podemos combinar os logaritmos usando as propriedades dos logaritmos:

Passo 9

Para eliminar o logaritmo, vamos exponenciar ambos os lados:
Aqui, é uma nova constante.

Passo 10

Vamos resolver para :

Passo 11

Finalmente, podemos expressar a solução em termos da condição inicial (a fração da população doente no tempo ):
Quando :
Resolvendo para :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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