Modelo de epidemia. Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença. Na construção do modelo que analisaremos, foram feitas as seguintes hipóteses:
a) Uma fração
de uma determinada população tem uma doença infecciosa, então uma fração
(1x) não a tem.
b) Os membros desta população podem encontrar-se livremente (ao acaso).
c) A taxa de aumento de
é proporcional a
e
. Em consequência destas hipóteses, temos que o modelo dado pela equação.
onde
é uma constante positiva.
a) Uma fração
b) Os membros desta população podem encontrar-se livremente (ao acaso).
c) A taxa de aumento de
Passo 1
No enunciado, estamos analisando um modelo simplificado de epidemia. Vamos trabalhar com equações diferenciais para entender como a fração de pessoas doentes na população muda ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente a resolução de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
A equação que descreve o modelo é:
Aqui:
-
representa a fração da população que está doente no tempo . -
é uma constante positiva que indica a taxa de crescimento da doença.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial conhecida como equação logística, que aparece com frequência em modelos de crescimento populacional e de propagação de doenças. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
Passo 4
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso nos ajudará a encontrar uma expressão para
em função de
:
Passo 6
Para resolver a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais. Podemos decompor
da seguinte forma:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Podemos combinar os logaritmos usando as propriedades dos logaritmos:
Passo 9
Para eliminar o logaritmo, vamos exponenciar ambos os lados:
Aqui,
é uma nova constante.
Passo 10
Vamos resolver para
:
Passo 11
Finalmente, podemos expressar a solução em termos da condição inicial
(a fração da população doente no tempo
):
Quando
:
Resolvendo para
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Calcule:
Calcule:
Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
b)
b)
Revisão de derivada. Calcule
nos seguintes casos:
e)
e)