Encontre a derivada da função
usando a definição. Em seguida, utilize a Regra da Cadeia para derivar e conferir sua resposta. Diga também quais são os domínios da função
e de sua derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
de duas maneiras: primeiro, usando a definição de derivada, e depois, aplicando a Regra da Cadeia para conferir se os resultados batem. Além disso, vamos descobrir quais são os domínios da função
e da sua derivada. Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivada pela definição e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Vamos começar usando a definição de derivada. A definição diz que:
Então, vamos substituir
nessa fórmula:
Passo 3
Agora, pra resolver esse limite, a gente pode multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para simplificar. O conjugado de
é
. Então:
Multiplicando os numeradores:
Então, temos:
Quando
tende a 0, a expressão fica:
Passo 4
Agora vamos usar a Regra da Cadeia para derivar
. Podemos reescrever a função como:
A Regra da Cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então:
Passo 5
Comparando os dois resultados, vemos que eles são iguais:
Passo 6
Agora, vamos determinar os domínios da função
e da sua derivada
.
A função
está definida quando o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero:
Então, o domínio de
é todos os números reais
tal que
.
Para a derivada
, o denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz também deve ser positiva:
Portanto, o domínio da derivada é todos os números reais
tais que
.
Resposta
A derivada de
é
. O domínio da função
é
e o domínio da derivada
é
.
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é dado por:
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