Encontre a derivada da função usando a definição. Em seguida, utilize a Regra da Cadeia para derivar e conferir sua resposta. Diga também quais são os domínios da função e de sua derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função de duas maneiras: primeiro, usando a definição de derivada, e depois, aplicando a Regra da Cadeia para conferir se os resultados batem. Além disso, vamos descobrir quais são os domínios da função e da sua derivada. Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivada pela definição e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Vamos começar usando a definição de derivada. A definição diz que:
Então, vamos substituir nessa fórmula:

Passo 3

Agora, pra resolver esse limite, a gente pode multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para simplificar. O conjugado de é . Então:
Multiplicando os numeradores:
Então, temos:
Quando tende a 0, a expressão fica:

Passo 4

Agora vamos usar a Regra da Cadeia para derivar . Podemos reescrever a função como:
A Regra da Cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então:

Passo 5

Comparando os dois resultados, vemos que eles são iguais:

Passo 6

Agora, vamos determinar os domínios da função e da sua derivada .
A função está definida quando o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero:
Então, o domínio de é todos os números reais tal que .
Para a derivada , o denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz também deve ser positiva:
Portanto, o domínio da derivada é todos os números reais tais que .

Resposta

A derivada de é . O domínio da função é e o domínio da derivada é .

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