Um banco oferece juros anual
, em %, dependendo do tempo
, em anos, que o investidor esteja disposto a manter o investimento.
é dado por:
Calcule
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial! A gente tem uma função que representa os juros anuais de um banco, dada por:
Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada dessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada usando as regras de derivação de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada
. A função é uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. Para derivar essa função, usamos a regra do quociente, que diz que se temos
, então:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Precisamos derivar
novamente. A função
também é uma fração, então usamos a regra do quociente novamente.
Identificamos:
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando
no numerador:
Passo 5
Finalmente, vamos avaliar
. Substituindo
na expressão de
:
Calculando:
Resposta
A segunda derivada de
no ponto
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Derive as funções por meio das regras de derivação já estudadas.
Encontre a derivada da função
usando a definição. Em seguida, utilize a Regra da Cadeia para derivar e conferir sua resposta. Diga também quais são os domínios da função
e de sua derivada.
Encontre a derivada de cada uma das funções:
Encontre
por derivação implícita: