Encontre a derivada da função
usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Vamos tratar do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente da definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender a fórmula básica da derivada definida como o limite da taxa de variação da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada. A derivada de
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para a função
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula. Primeiro, calculamos
:
Expandindo isso:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 5
Dividimos isso por
:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite quando
tende a 0:
Os termos com
desaparecem porque
está indo para 0.
Resposta
A derivada da função é
. O domínio da função
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
. O domínio da derivada
também é todo o conjunto dos números reais,
.