Encontre a derivada da função f(x) = x^3 - 3x + 5 usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Vamos tratar do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente da definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender a fórmula básica da derivada definida como o limite da taxa de variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada. A derivada de em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para a função .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula. Primeiro, calculamos :
Expandindo isso:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Simplificando:

Passo 5

Dividimos isso por :

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite quando tende a 0:
Os termos com desaparecem porque está indo para 0.

Resposta

A derivada da função é . O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . O domínio da derivada também é todo o conjunto dos números reais, .

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