Use o Teorema do Confronto para determinar
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito, usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze). Esse teorema nos ajuda a encontrar limites de funções complicadas usando funções mais simples que delimitam a função original.
Passo 2
O Teorema do Confronto nos diz que se uma função
está sempre entre duas outras funções
e
, e se os limites de
e
são iguais quando
tende a algum valor, então o limite de
também será esse valor comum.
Matematicamente, se
e
, então
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre
e
:
Passo 4
Dividindo todos os lados da desigualdade por
(e lembrando que
é positivo quando tende ao infinito), temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os limites das funções que estão nas extremidades:
Passo 6
Como
está entre
e
, e ambos os limites laterais são
, pelo Teorema do Confronto, o limite de
também deve ser
.