Use o Teorema do Confronto para determinar
lim x infty sen xx

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito, usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze). Esse teorema nos ajuda a encontrar limites de funções complicadas usando funções mais simples que delimitam a função original.

Passo 2

O Teorema do Confronto nos diz que se uma função está sempre entre duas outras funções e , e se os limites de e são iguais quando tende a algum valor, então o limite de também será esse valor comum.
Matematicamente, se e , então .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função -1 <= sin x <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre e :

Passo 4

Dividindo todos os lados da desigualdade por -1x <= sin xx <= 1x (e lembrando que é positivo quando tende ao infinito), temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites das funções que estão nas extremidades:
limx to infty -1x = 0 e limx to infty 1x = 0

Passo 6

Como está entre e , e ambos os limites laterais são , pelo Teorema do Confronto, o limite de também deve ser .

Resposta

limx to infty sin xx = 0

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