Determine se existe ou não
, onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir se a derivada de
no ponto
, ou seja,
, existe. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de derivada no cálculo, que nos ajuda a entender como uma função muda em um ponto específico.
Passo 2
A derivada de uma função no ponto
é definida como o limite:
No nosso caso,
, então precisamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na expressão. Sabemos que:
Como estamos considerando
tendendo a 0, mas diferente de zero, usamos a primeira parte da função:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
tende a 0. Vamos analisar o comportamento de
à medida que
se aproxima de 0:
- Se
se aproxima de 0 por valores positivos, tende a . - Se
se aproxima de 0 por valores negativos, tende a .
Passo 5
Sabemos que a função seno,
, oscila entre -1 e 1 para todo valor de
. Portanto, conforme
tende a infinito,
continua a oscilar entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.
Passo 6
Como
não se aproxima de nenhum valor específico quando
tende a 0, o limite:
não existe.
Resposta
Portanto, a derivada
não existe.