Determine se existe ou não f'(0), onde
f(x) = { x * sen(1 / x), se x != 0; 0, se x = 0 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir se a derivada de no ponto , ou seja, , existe. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de derivada no cálculo, que nos ajuda a entender como uma função muda em um ponto específico.

Passo 2

A derivada de uma função no ponto é definida como o limite:
No nosso caso, , então precisamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função na expressão. Sabemos que:
Como estamos considerando tendendo a 0, mas diferente de zero, usamos a primeira parte da função:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando tende a 0. Vamos analisar o comportamento de à medida que se aproxima de 0:
  • Se se aproxima de 0 por valores positivos, tende a .
  • Se se aproxima de 0 por valores negativos, tende a .

Passo 5

Sabemos que a função seno, , oscila entre -1 e 1 para todo valor de . Portanto, conforme tende a infinito, continua a oscilar entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único valor.

Passo 6

Como não se aproxima de nenhum valor específico quando tende a 0, o limite:
não existe.

Resposta

Portanto, a derivada não existe.

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