Encontre a Derivada g(x) = ln(x e^(-2 x))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem logaritmos e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação.

Passo 2

Vamos simplificar a função usando uma propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos. Assim:

Passo 3

Agora, sabemos que o logaritmo natural de é simplesmente , isto é, . Aplicando isso à segunda parte da nossa função:
Portanto, nossa função simplificada fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de . A derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas de cada função. Então, vamos derivar e separadamente.
  • A derivada de com relação a é .
  • A derivada de com relação a é .

Passo 5

Somando as derivadas que encontramos:

Resposta

A derivada de é:

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