Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier de uma função que é igual a 1 no intervalo e se repete a cada 4 unidades, ou seja, .
Vamos usar conceitos de séries de Fourier para funções periódicas. Precisamos determinar os coeficientes que compõem a série que representa essa função constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período pode ser escrita como:
Onde:
é o coeficiente constante.
e são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Como nossa função é constante e igual a 1 em todo o intervalo, vamos calcular :
Aqui, , então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo e :
Porque e .
Passo 5
De forma semelhante, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo e :
Novamente, porque e , então .
Passo 6
Então, todos os coeficientes e são zero. Isso significa que a série de Fourier da função é simplesmente o termo constante .