Encontre a série de Fourier das funções a seguir: f(x) = { 1, x em [0, 4] ; f(x + 4) = f(x) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier de uma função que é igual a 1 no intervalo e se repete a cada 4 unidades, ou seja, .
Vamos usar conceitos de séries de Fourier para funções periódicas. Precisamos determinar os coeficientes que compõem a série que representa essa função constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período pode ser escrita como:
Onde:
  • é o coeficiente constante.
  • e são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Como nossa função é constante e igual a 1 em todo o intervalo, vamos calcular :
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo e :
Porque e .

Passo 5

De forma semelhante, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo e :
Novamente, porque e , então .

Passo 6

Então, todos os coeficientes e são zero. Isso significa que a série de Fourier da função é simplesmente o termo constante .

Resposta

A série de Fourier da função dada é:

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