Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar a derivada da função
. Vamos usar conceitos de derivação de funções racionais e a regra do produto para isso. Precisamos manipular a função de forma que fique mais fácil aplicar essas regras e chegar na derivada final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação das regras de derivação. A função dada é uma fração, então podemos expressá-la com expoentes negativos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar
. A regra do produto afirma que se temos duas funções multiplicando, a derivada será a derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Ou seja,
Passo 4
Vamos calcular as derivadas individuais usando a regra do poder, que diz que
, onde
é uma função de
.
Primeiro, para
:
Depois, para
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão da regra do produto, temos:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Para deixar a expressão mais organizada, podemos fatorar termos comuns. Observamos que
e
são comuns nos dois termos:
Agora, vamos simplificar dentro dos colchetes:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Podemos reescrever com denominadores positivos:
Resposta
A derivada da função é:
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