Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função) f(x) = 1/((x+4)^(3)*(x+1)^(2))

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar a derivada da função . Vamos usar conceitos de derivação de funções racionais e a regra do produto para isso. Precisamos manipular a função de forma que fique mais fácil aplicar essas regras e chegar na derivada final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação das regras de derivação. A função dada é uma fração, então podemos expressá-la com expoentes negativos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar . A regra do produto afirma que se temos duas funções multiplicando, a derivada será a derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Ou seja,

Passo 4

Vamos calcular as derivadas individuais usando a regra do poder, que diz que , onde é uma função de .
Primeiro, para :
Depois, para :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da regra do produto, temos:
Simplificando os sinais:

Passo 6

Para deixar a expressão mais organizada, podemos fatorar termos comuns. Observamos que e são comuns nos dois termos:
Agora, vamos simplificar dentro dos colchetes:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Podemos reescrever com denominadores positivos:

Resposta

A derivada da função é:

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