Encontre a integral indefinida (Regra de substituição)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para resolvermos a integral indefinida
usando a regra de substituição. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma nova variável
, simplificando a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a substituição indicada no enunciado:
. Isso é uma boa escolha porque
está dentro da raiz quadrada, e sua derivada aparece multiplicando a expressão.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que
.
Passo 4
Observando a nossa integral original, temos
. Queremos expressar isso em termos de
e
. Podemos reescrever
como
.
Sabemos que
, então
. Substituindo isso, temos:
Mas de
, conseguimos isolar
:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Os
e
se cancelam:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando
por
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra básica de potências para integrais:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Finalmente, vamos substituir
de volta na expressão:
Resposta
A integral indefinida é:
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