Encontre a integral indefinida (Regra de substituição) integral 2 raiz1+x^2 x^3 d x (u=1+x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para resolvermos a integral indefinida integral 2 raiz1+x^2 , x^3 , dx usando a regra de substituição. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que possa ser substituída por uma nova variável , simplificando a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a substituição indicada no enunciado: . Isso é uma boa escolha porque está dentro da raiz quadrada, e sua derivada aparece multiplicando a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = ddx(1 + x^2) , dx = 2x , dx em relação a para encontrar :
Isso significa que .

Passo 4

Observando a nossa integral original, temos x^3 , dx = x^2 cdot x , dx = (u - 1) cdot x , dx . Queremos expressar isso em termos de x , dx = du2 e . Podemos reescrever como .
Sabemos que , então . Substituindo isso, temos:
Mas de , conseguimos isolar :

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral 2 raiz1 + x^2 , x^3 , dx = integral 2 raizu cdot (u - 1) cdot du2
Os = integral raizu cdot (u - 1) , du e se cancelam:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando raizu cdot (u - 1) = u^1/2 cdot u - u^1/2 = u^3/2 - u^1/2 por integral (u^3/2 - u^1/2) , du :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra básica de potências para integrais:
integral u^3/2 , du = u^5/252 = 25 u^5/2
integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2
Portanto, a integral fica:
25 u^5/2 - 23 u^3/2 + C

Passo 8

Finalmente, vamos substituir 25 (1 + x^2)^5/2 - 23 (1 + x^2)^3/2 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral indefinida é:
integral 2 raiz1+x^2 , x^3 , dx = 25 (1 + x^2)^5/2 - 23 (1 + x^2)^3/2 + C

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