Encontre a integral indefinida (Regra de substituição)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral indefinida usando a regra de substituição. A gente vai trabalhar com funções trigonométricas, especificamente a função cosecante ao quadrado de
. Para isso, vamos precisar usar a técnica de substituição e conhecer a integral da
que está ligada à derivada da função cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função dentro da integral que vamos substituir. Temos
, então vamos definir:
Isso simplifica a expressão dentro da função trigonométrica.
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial de
. Sabemos que:
Então, rearranjando para achar
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Podemos fatorar o
para fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Por fim, vamos substituir
de volta para
:
Resposta
A integral indefinida é:
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