Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar duas soluções em série de potências que são linearmente independentes para a equação diferencial dada em torno de
. Isso significa que estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem e vamos usar a Método de Série de Potências pra achar as soluções. Vamos precisar assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências e então encontrar os coeficientes dessa série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras e segunda derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Ficando:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de
. Para isso, fazemos substituições de índice:
Para a segunda derivada:
Para o termo
:
Para o termo
:
Passo 6
Agora, reescrevemos a equação com os mesmos expoentes de
:
Para juntar todas as somas, observamos que para
, apenas a primeira soma tem termo, então isso nos dará uma condição inicial.
Passo 7
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero:
Para
:
Para
:
Isso nos dá uma relação de recorrência para encontrar os coeficientes
em termos de
e
.
Passo 8
Vamos tentar encontrar uma solução assumindo que
é um parâmetro e
é outro parâmetro, já que temos uma segunda ordem na equação diferencial.
Começamos definindo
e
, onde
e
são constantes que determinarão as duas soluções independentes.
Passo 9
Usando a relação de recorrência, calculamos os coeficientes:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 10
Para simplificar, consideramos duas soluções distintas:
- Primeira solução: Assumimos
e :
- Segunda solução: Assumimos
e :
Resposta
As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de
são:
e
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.
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.