Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0.
y'' + x^2 y' + x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é encontrar duas soluções em série de potências que são linearmente independentes para a equação diferencial dada em torno de . Isso significa que estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Segunda Ordem e vamos usar a Método de Série de Potências pra achar as soluções. Vamos precisar assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências e então encontrar os coeficientes dessa série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras e segunda derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Ficando:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de . Para isso, fazemos substituições de índice:
Para a segunda derivada:
Para o termo :
Para o termo :

Passo 6

Agora, reescrevemos a equação com os mesmos expoentes de :
Para juntar todas as somas, observamos que para , apenas a primeira soma tem termo, então isso nos dará uma condição inicial.

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para :
Para :
Isso nos dá uma relação de recorrência para encontrar os coeficientes em termos de e .

Passo 8

Vamos tentar encontrar uma solução assumindo que é um parâmetro e é outro parâmetro, já que temos uma segunda ordem na equação diferencial.
Começamos definindo e , onde e são constantes que determinarão as duas soluções independentes.

Passo 9

Usando a relação de recorrência, calculamos os coeficientes:
Para :
Para :
E assim por diante.

Passo 10

Para simplificar, consideramos duas soluções distintas:
  1. Primeira solução: Assumimos e :
  1. Segunda solução: Assumimos e :

Resposta

As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de são:
e

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