Uma superficie S é representada pela equação vetorial
r(u, v) = cos(v) i + sen(v) j + u k, 0 <= u <= 4, 0 <= v <= 2 pi
Determinar a área de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície definida pela equação vetorial:
O objetivo aqui é encontrar a área dessa superfície. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas de superfícies paramétricas, que envolve encontrar derivadas parciais e calcular o produto vetorial delas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função vetorial em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se estende nos eixos e .
Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular à superfície e cuja magnitude está relacionada à área infinitesimal da superfície.
Vamos calcular isso passo a passo:
Portanto:
Ou seja:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, pois ela representa o fator que vamos integrar para obter a área total.
A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso:
Então, a magnitude é 1.

Passo 5

Agora, para encontrar a área da superfície , precisamos integrar essa magnitude sobre os limites dados de e .
A fórmula para a área é:
Substituindo a magnitude que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver essa integral dupla. Primeiro integramos em relação a de 0 a 4:
Agora, integramos esse resultado em relação a de 0 a :

Resposta

A área da superfície é unidades quadradas.

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