Uma superficie
é representada pela equação vetorial
Determinar a área de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície
definida pela equação vetorial:
O objetivo aqui é encontrar a área dessa superfície. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas de superfícies paramétricas, que envolve encontrar derivadas parciais e calcular o produto vetorial delas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função vetorial
em relação a
e
. Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se estende nos eixos
e
.
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular à superfície e cuja magnitude está relacionada à área infinitesimal da superfície.
Vamos calcular isso passo a passo:
Portanto:
Ou seja:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, pois ela representa o fator que vamos integrar para obter a área total.
A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso:
Então, a magnitude é 1.
Passo 5
Agora, para encontrar a área da superfície
, precisamos integrar essa magnitude sobre os limites dados de
e
.
A fórmula para a área
é:
Substituindo a magnitude que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver essa integral dupla. Primeiro integramos em relação a
de 0 a 4:
Agora, integramos esse resultado em relação a
de 0 a
:
Resposta
A área da superfície
é
unidades quadradas.
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