Encontre a equação da esfera tangente ao plano pi1: x+2 y+2 z=16 no ponto (2,3,4) e ao plano pi2: 2 x+2 y+z=-3 no ponto (-1,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que toca dois planos específicos nos pontos dados. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como determinar uma esfera a partir das condições de tangência a planos e pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a equação geral de uma esfera é:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
onde (x0, y0, z0) é o centro da esfera e r é o raio.

Passo 3

Como a esfera é tangente a um plano em um ponto específico, o ponto de tangência deve estar na esfera, e a distância do centro da esfera até o plano deve ser igual ao raio r.

Passo 4

Vamos chamar o centro da esfera de (a, b, c) e o raio de r. Temos dois planos:
  1. pi1: x + 2y + 2z = 16, tangente no ponto (2, 3, 4)
  2. pi2: 2x + 2y + z = -3, tangente no ponto (-1, -1, 1)

Passo 5

Primeiro, como os pontos de tangência estão na esfera, podemos usar a equação da esfera para cada ponto:
Para (2, 3, 4):
(2 - a)^2 + (3 - b)^2 + (4 - c)^2 = r^2 (1)
Para (-1, -1, 1):
(-1 - a)^2 + (-1 - b)^2 + (1 - c)^2 = r^2 (2)

Passo 6

Agora, vamos usar a condição de que a distância do centro da esfera a cada plano é igual ao raio r. A fórmula da distância de um ponto (a, b, c) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
Distância = |Aa + Bb + Cc + D|raizA^2 + B^2 + C^2 â

Passo 7

Aplicando isso ao primeiro plano pi1: x + 2y + 2z - 16 = 0:
|a + 2b + 2c - 16|raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = r (3)
Simplificando o denominador:
raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Então:
|a + 2b + 2c - 16| = 3r (3)

Passo 8

Fazendo o mesmo para o segundo plano pi2: 2x + 2y + z + 3 = 0:
|2a + 2b + c + 3|raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = r (4)
Simplificando o denominador:
raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
Então:
|2a + 2b + c + 3| = 3r (4)

Passo 9

Agora temos três equações: (1), (2), (3) e (4). Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b, c, e r.
Primeiro, vamos igualar as equações (1) e (2):
(2 - a)^2 + (3 - b)^2 + (4 - c)^2 = (-1 - a)^2 + (-1 - b)^2 + (1 - c)^2

Passo 10

Expandindo ambos os lados:
(4 - 4a + a^2) + (9 - 6b + b^2) + (16 - 8c + c^2) = (1 + 2a + a^2) + (1 + 2b + b^2) + (1 - 2c + c^2)
Simplificando:
4 - 4a + 9 - 6b + 16 - 8c + a^2 + b^2 + c^2 = 1 + 2a + 1 + 2b + 1 - 2c + a^2 + b^2 + c^2
Cancelando termos iguais em ambos os lados:
29 - 4a - 6b - 8c = 3 + 2a + 2b - 2c

Passo 11

Reorganizando os termos:
29 - 3 = 2a + 2b - 2c + 4a + 6b + 8c
26 = 6a + 8b + 6c
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
13 = 3a + 4b + 3c (5)

Passo 12

Agora, vamos usar as equações (3) e (4). Podemos expressar r em termos de a, b, e c.
Da equação (3):
|a + 2b + 2c - 16| = 3r Rightarrow r = |a + 2b + 2c - 16|3 (6)
Da equação (4):
|2a + 2b + c + 3| = 3r Rightarrow r = |2a + 2b + c + 3|3 (7)
Igualando (6) e (7):
|a + 2b + 2c - 16|3 = |2a + 2b + c + 3|3
Logo:
|a + 2b + 2c - 16| = |2a + 2b + c + 3|

Passo 13

Para resolver essa equação de valor absoluto, consideramos duas possibilidades:
  1. a + 2b + 2c - 16 = 2a + 2b + c + 3
  2. a + 2b + 2c - 16 = -(2a + 2b + c + 3)
Vamos resolver cada caso.
Caso 1:
a + 2b + 2c - 16 = 2a + 2b + c + 3
Simplificando:
-a + c = 19 (8)
Caso 2:
a + 2b + 2c - 16 = -2a - 2b - c - 3
Simplificando:
3a + 4b + 3c = 13 (mesma que a equação (5)) çã

Passo 14

Vamos usar o Caso 1:
Da equação (8):
-a + c = 19 Rightarrow c = a + 19 (9)
Agora, substituímos c na equação (5):
13 = 3a + 4b + 3(a + 19)
Simplificando:
13 = 3a + 4b + 3a + 57
13 - 57 = 6a + 4b
-44 = 6a + 4b
Dividindo por 2:
-22 = 3a + 2b (10)

Passo 15

Agora, temos duas equações:
  1. c = a + 19 (equação (9))
  2. 3a + 2b = -22 (equação (10))
Vamos resolver para a e b.
Podemos expressar b em termos de a:
2b = -22 - 3a
b = -22 - 3a2 (11)

Passo 16

Agora, substituímos b e c na equação (1):
(2 - a)^2 + (3 - -22 - 3a2)^2 + (4 - (a + 19))^2 = r^2
Vamos simplificar cada termo:
Para y:
3 - -22 - 3a2 = 6 + 22 + 3a2 = 28 + 3a2
Para z:
4 - a - 19 = -a - 15
Então, a equação fica:
(2 - a)^2 + (28 + 3a2)^2 + (-a - 15)^2 = r^2

Passo 17

Vamos expandir e simplificar:
(2 - a)^2 = a^2 - 4a + 4
(28 + 3a2)^2 = (28 + 3a)^24 = 784 + 168a + 9a^24
(-a - 15)^2 = a^2 + 30a + 225
Somando tudo:
a^2 - 4a + 4 + 784 + 168a + 9a^24 + a^2 + 30a + 225 = r^2
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
4a^2 - 16a + 16 + 784 + 168a + 9a^2 + 4a^2 + 120a + 900 = 4r^2
Somando os termos:
(4a^2 + 9a^2 + 4a^2) + (-16a + 168a + 120a) + (16 + 784 + 900) = 4r^2
17a^2 + 272a + 1700 = 4r^2

Passo 18

Lembrando que de (6):
r = |a + 2b + 2c - 16|3
Substituindo c = a + 19 e b = -22 - 3a2:
r = |a + 2(-22 - 3a2) + 2(a + 19) - 16|3
Simplificando:
r = |a -22 - 3a + 2a + 38 - 16|3 = |0a + 0|3 = 0
Isso implicaria que o raio r = 0, o que não faz sentido para uma esfera. Portanto, o Caso 1 não é válido.

Passo 19

Vamos agora considerar o Caso 2, onde a equação (5) já foi usada, e chegamos a:
3a + 4b + 3c = 13 (5)
E também temos a equação da distância igual ao raio:
|a + 2b + 2c - 16| = |2a + 2b + c + 3|
Considerando o segundo caso da condição de valor absoluto:
a + 2b + 2c - 16 = -(2a + 2b + c + 3)
Simplificando:
a + 2b + 2c - 16 = -2a - 2b - c - 3
3a + 4b + 3c = 13
Que é a mesma equação (5), então não nos dá informações adicionais. Precisamos usar uma outra abordagem.

Passo 20

Vamos voltar às equações iniciais. Temos duas equações de distância:
  1. |a + 2b + 2c - 16| = 3r
  2. |2a + 2b + c + 3| = 3r
Igualando-as:
|a + 2b + 2c - 16| = |2a + 2b + c + 3|
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. a + 2b + 2c - 16 = 2a + 2b + c + 3
  2. a + 2b + 2c - 16 = - (2a + 2b + c + 3)
Já analisamos a primeira e vimos que não dá uma solução válida. Então, vamos focar na segunda:
a + 2b + 2c - 16 = -2a - 2b - c - 3
Simplificando:
3a + 4b + 3c = 13 (mesma que a equação (5)) çã

Passo 21

Precisamos de mais uma equação para resolver esse sistema. Vamos usar a condição de que os pontos de tangência estão na esfera:
Das equações (1) e (2):
(2 - a)^2 + (3 - b)^2 + (4 - c)^2 = (-1 - a)^2 + (-1 - b)^2 + (1 - c)^2
Já simplificamos isso e obtivemos:
3a + 4b + 3c = 13 (5)
Precisamos de outra relação entre a, b, e c.

Passo 22

Observando que a esfera é tangente aos planos nos pontos dados, o vetor normal de cada plano deve ser paralelo ao vetor que liga o centro da esfera ao ponto de tangência.
Os vetores normais são:
  • Para pi1: (1, 2, 2)
  • Para pi2: (2, 2, 1)
Isso implica que:
a - 21 = b - 32 = c - 42 (12)
e
a + 12 = b + 12 = c - 11 (13)

Passo 23

Vamos usar essas proporções para expressar a, b, e c.
De (12):
a - 2 = b - 32 = c - 42
Vamos chamar essa constante de k:
a - 2 = k Rightarrow a = 2 + k
b - 32 = k Rightarrow b = 2k + 3
c - 42 = k Rightarrow c = 2k + 4

Passo 24

Agora, substituímos a, b, e c na equação (5):
3(2 + k) + 4(2k + 3) + 3(2k + 4) = 13
Simplificando:
6 + 3k + 8k + 12 + 6k + 12 = 13
17k + 30 = 13
17k = -17
k = -1

Passo 25

Agora, encontramos k = -1, então:
a = 2 + (-1) = 1
b = 2(-1) + 3 = 1
c = 2(-1) + 4 = 2

Passo 26

Com o centro da esfera (1, 1, 2), vamos encontrar o raio r usando a distância do centro a um dos planos.
Usando pi1: x + 2y + 2z = 16:
r = |1 + 2(1) + 2(2) - 16|3 = |1 + 2 + 4 - 16|3 = | -9 |3 = 3

Passo 27

Agora que temos o centro (1, 1, 2) e o raio 3, podemos escrever a equação da esfera:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 9

Resposta

A equação da esfera procurada é:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 9

Exercícios relacionados