Encontre a equação da esfera tangente ao plano
no ponto
e ao plano
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que toca dois planos específicos nos pontos dados. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como determinar uma esfera a partir das condições de tangência a planos e pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a equação geral de uma esfera é:
onde
é o centro da esfera e
é o raio.
Passo 3
Como a esfera é tangente a um plano em um ponto específico, o ponto de tangência deve estar na esfera, e a distância do centro da esfera até o plano deve ser igual ao raio
.
Passo 4
Vamos chamar o centro da esfera de
e o raio de
. Temos dois planos:
-
, tangente no ponto -
, tangente no ponto
Passo 5
Primeiro, como os pontos de tangência estão na esfera, podemos usar a equação da esfera para cada ponto:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição de que a distância do centro da esfera a cada plano é igual ao raio
. A fórmula da distância de um ponto
a um plano
é:
Passo 7
Aplicando isso ao primeiro plano
:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 8
Fazendo o mesmo para o segundo plano
:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 9
Agora temos três equações: (1), (2), (3) e (4). Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
,
, e
.
Primeiro, vamos igualar as equações (1) e (2):
Passo 10
Expandindo ambos os lados:
Simplificando:
Cancelando termos iguais em ambos os lados:
Passo 11
Reorganizando os termos:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 12
Agora, vamos usar as equações (3) e (4). Podemos expressar
em termos de
,
, e
.
Da equação (3):
Da equação (4):
Igualando (6) e (7):
Logo:
Passo 13
Para resolver essa equação de valor absoluto, consideramos duas possibilidades:
Vamos resolver cada caso.
Caso 1:
Simplificando:
Caso 2:
Simplificando:
Passo 14
Vamos usar o Caso 1:
Da equação (8):
Agora, substituímos
na equação (5):
Simplificando:
Dividindo por 2:
Passo 15
Agora, temos duas equações:
-
(equação (9)) -
(equação (10))
Vamos resolver para
e
.
Podemos expressar
em termos de
:
Passo 16
Agora, substituímos
e
na equação (1):
Vamos simplificar cada termo:
Para
:
Para
:
Então, a equação fica:
Passo 17
Vamos expandir e simplificar:
Somando tudo:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Somando os termos:
Passo 18
Lembrando que de (6):
Substituindo
e
:
Simplificando:
Isso implicaria que o raio
, o que não faz sentido para uma esfera. Portanto, o Caso 1 não é válido.
Passo 19
Vamos agora considerar o Caso 2, onde a equação (5) já foi usada, e chegamos a:
E também temos a equação da distância igual ao raio:
Considerando o segundo caso da condição de valor absoluto:
Simplificando:
Que é a mesma equação (5), então não nos dá informações adicionais. Precisamos usar uma outra abordagem.
Passo 20
Vamos voltar às equações iniciais. Temos duas equações de distância:
Igualando-as:
Isso nos dá duas possibilidades:
Já analisamos a primeira e vimos que não dá uma solução válida. Então, vamos focar na segunda:
Simplificando:
Passo 21
Precisamos de mais uma equação para resolver esse sistema. Vamos usar a condição de que os pontos de tangência estão na esfera:
Das equações (1) e (2):
Já simplificamos isso e obtivemos:
Precisamos de outra relação entre
,
, e
.
Passo 22
Observando que a esfera é tangente aos planos nos pontos dados, o vetor normal de cada plano deve ser paralelo ao vetor que liga o centro da esfera ao ponto de tangência.
Os vetores normais são:
- Para
: - Para
:
Isso implica que:
e
Passo 23
Vamos usar essas proporções para expressar
,
, e
.
De (12):
Vamos chamar essa constante de
:
Passo 24
Agora, substituímos
,
, e
na equação (5):
Simplificando:
Passo 25
Agora, encontramos
, então:
Passo 26
Com o centro da esfera
, vamos encontrar o raio
usando a distância do centro a um dos planos.
Usando
:
Passo 27
Agora que temos o centro
e o raio
, podemos escrever a equação da esfera:
Resposta
A equação da esfera procurada é: