Para uma partícula quântica descrita por uma função de onda
, o valor esperado de uma grandeza física
associada a ela é definido por
Para uma partícula em uma caixa unidimensional de profundidade infinita estendendo-se de
a
, demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado nos pede para calcular o valor esperado de $ x^2 $ para uma partícula quântica que está confinada em uma caixa unidimensional com paredes infinitas, que vai de $ x = 0 $ até $ x = L $. Isso está relacionado à mecânica quântica, especificamente ao conceito de valor esperado (ou valor médio) de uma grandeza física. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de valor esperado e a forma da função de onda para uma partícula em uma caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. Na mecânica quântica, o valor esperado de uma grandeza $ f(x) $ é dado por:
Aqui, $ \psi(x) $ é a função de onda da partícula, e $ \psi^{*}(x) $ é seu conjugado complexo. Para nossa situação, a partícula está numa caixa de $ 0 $ a $ L $, então a função de onda $ \psi(x) $ é diferente de zero somente nesse intervalo.
Passo 3
A função de onda para uma partícula em uma caixa com paredes infinitas é dada por:
onde $ n $ é um número natural ($ n = 1, 2, 3, ··· $) que representa os diferentes estados quânticos da partícula. Essa função satisfaz as condições de contorno de que $ \psi(0) = \psi(L) = 0 $.
Passo 4
Nosso objetivo é calcular $ \langle x^2 \rangle $. Usando a definição de valor esperado:
Como a função de onda $ \psi_n(x) $ é real, $ \psi_n^{*}(x) = \psi_n(x) $. Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar $ \sin^2 \theta $:
Aplicando isso na integral:
Passo 6
Agora, separamos a integral em duas partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
Segunda integral:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes duas vezes ou consultamos uma tabela de integrais. O resultado dessa integral é:
Como $ n $ é um número inteiro, $ (-1)^n $ alterna entre 1 e -1, mas para nossa demonstração, consideramos apenas o valor geral.
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão para $ \langle x^2 \rangle $:
Resposta
Portanto, demonstramos que o valor esperado de $ x^2 $ para uma partícula em uma caixa unidimensional é: