Considere as seguintes retas:
c t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l 2 x+2 y-z=7
E os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
m e alpha

Passo 1

Então, temos que analisar a posição relativa, o ângulo e a distância entre a reta $ m $ e o plano $ \alpha $. A reta $ m $ é definida por:
m
E o plano $ \alpha $ é dado por:
alpha
Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional, incluindo vetores diretores, normais de planos, e fórmulas para distância e ângulo entre esses objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta $ m $. A reta está parametrizada por $ t $, então podemos escrever:
m
Esse vetor indica a direção da reta $ m $.

Passo 3

Em seguida, identificamos o vetor normal ao plano $ \alpha $. A equação geral de um plano é $ Ax + By + Cz + D = 0 $, onde $ \vec{n} = alpha $ é o vetor normal. Para o plano $ \alpha $:
Ax + By + Cz + D = 0

Passo 4

Para determinar a posição relativa entre a reta e o plano, verificamos se a reta é paralela ao plano ou se ela o intersecta. Isso depende do produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano:
dm cdot nalpha = (-1)(2) + (1)(-1) + (0)(1) = -2 -1 + 0 = -3 neq 0
Como o produto escalar não é zero, a reta não é paralela ao plano, ou seja, ela intersecta o plano em um único ponto.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta $ m $ e o plano $ \alpha $. Substituímos as equações paramétricas da reta na equação do plano:
m
Simplificando:
alpha
Substituindo $ t = \frac{2}{3} $ nas equações da reta:
2(1-t) - (2+t) + 3 = 1
Portanto, o ponto de interseção é $ \left( \frac{1}{3}, \frac{8}{3}, 3 \right) $.

Passo 6

Como a reta $ m $ intersecta o plano $ \alpha $, a distância entre eles no ponto de interseção é zero. Ou seja:
m â

Passo 7

Para encontrar o ângulo entre a reta $ m $ e o plano $ \alpha $, usamos a fórmula:
m
Primeiro, calculamos o produto escalar e as magnitudes:
alpha
Então:
sin(theta) = |dm cdot nalpha||dm| cdot |nalpha|
Portanto, $ \theta = 60^\circ $.

Resposta

A reta $ m $ intersecta o plano $ \alpha $ em um único ponto $ \left( \frac{1}{3}, \frac{8}{3}, 3 \right) $, formando um ângulo de $ 60^\circ $ com o plano, e a distância entre eles nesse ponto é zero.

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