Encontre a equação da parábola resultante da intersecção do parabolóide elíptico
z=x^2a^2+y^2b^2
com o plano y z. Em que eixo está seu foco?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da parábola que resulta da interseção de um parabolóide elíptico com o plano yz. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadricas e interseções de planos com essas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um parabolóide elíptico. A equação dada é:
z = x^2a^2 + y^2b^2
Isso representa uma superfície tridimensional que se abre na direção positiva do eixo z.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a interseção desse parabolóide com o plano yz. O plano yz é aquele onde a coordenada x é sempre zero. Então, para encontrar a equação da interseção, substituímos x = 0 na equação do parabolóide:
z = 0^2a^2 + y^2b^2 Rightarrow z = y^2b^2
Essa é a equação da parábola resultante no plano yz.

Passo 4

Agora, vamos identificar em qual eixo está o foco dessa parábola. A equação obtida é:
z = y^2b^2
Comparando com a forma padrão da equação de uma parábola vertical:
z = 14py^2
Podemos ver que:
14p = 1b^2 Rightarrow p = b^24
Aqui, p representa a distância do vértice ao foco ao longo do eixo da parábola.

Passo 5

Como a equação da parábola é z = y^2b^2, isso indica que a parábola está se abrindo ao longo do eixo z. Portanto, o foco está localizado a uma distância p = b^24 do vértice, ao longo do eixo z.

Resposta

A parábola resultante da interseção é z = y^2b^2, e seu foco está localizado no eixo z.

Exercícios relacionados