Encontre a equação da parábola resultante da intersecção do parabolóide elíptico
com o plano
. Em que eixo está seu foco?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da parábola que resulta da interseção de um parabolóide elíptico com o plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadricas e interseções de planos com essas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um parabolóide elíptico. A equação dada é:
Isso representa uma superfície tridimensional que se abre na direção positiva do eixo
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a interseção desse parabolóide com o plano
. O plano
é aquele onde a coordenada
é sempre zero. Então, para encontrar a equação da interseção, substituímos
na equação do parabolóide:
Essa é a equação da parábola resultante no plano
.
Passo 4
Agora, vamos identificar em qual eixo está o foco dessa parábola. A equação obtida é:
Comparando com a forma padrão da equação de uma parábola vertical:
Podemos ver que:
Aqui,
representa a distância do vértice ao foco ao longo do eixo da parábola.
Passo 5
Como a equação da parábola é
, isso indica que a parábola está se abrindo ao longo do eixo
. Portanto, o foco está localizado a uma distância
do vértice, ao longo do eixo
.
Resposta
A parábola resultante da interseção é
, e seu foco está localizado no eixo
.