Encontre a equação da parábola resultante da intersecção do parabolóide elíptico
com o plano . Em que eixo está seu foco?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da parábola que resulta da interseção de um parabolóide elíptico com o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadricas e interseções de planos com essas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um parabolóide elíptico. A equação dada é:
Isso representa uma superfície tridimensional que se abre na direção positiva do eixo .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a interseção desse parabolóide com o plano . O plano é aquele onde a coordenada é sempre zero. Então, para encontrar a equação da interseção, substituímos na equação do parabolóide:
Essa é a equação da parábola resultante no plano .

Passo 4

Agora, vamos identificar em qual eixo está o foco dessa parábola. A equação obtida é:
Comparando com a forma padrão da equação de uma parábola vertical:
Podemos ver que:
Aqui, representa a distância do vértice ao foco ao longo do eixo da parábola.

Passo 5

Como a equação da parábola é , isso indica que a parábola está se abrindo ao longo do eixo . Portanto, o foco está localizado a uma distância do vértice, ao longo do eixo .

Resposta

A parábola resultante da interseção é , e seu foco está localizado no eixo .

Exercícios relacionados

  1. Encontre todos os valores de e para os quais é simétrica.
  1. Encontre uma matriz diagonal tal que
    19a.
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
c) (Resp. )
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. ;
Identifique a superfície cuja equaçāo, em coordenadas cilíndricas, é dada por:
.