Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. ;

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície dada por , que é um paraboloide, e um plano dado por . O objetivo é encontrar um esboço gráfico da projeção da interseção entre essas duas superfícies no plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de superfícies e projeção de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a curva de interseção entre a superfície e o plano . Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos dará a equação da curva que está na interseção das duas superfícies.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma geométrica dessa curva. Subtraindo de ambos os lados, temos:
Isso parece uma equação de segundo grau em e , possivelmente de um círculo ou elipse.

Passo 4

Para identificar claramente a forma geométrica, completamos o quadrado para a variável . Pegamos os termos que envolvem :
Substituindo de volta na equação original:
Então:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio no plano .

Passo 5

Com a equação , sabemos que a projeção no plano é um círculo de raio centrado em . Para esboçar isso, desenhamos um círculo com esses parâmetros no sistema de coordenadas.

Resposta

A projeção da interseção entre a superfície e o plano no plano é um círculo de raio centrado no ponto . O esboço gráfico é um círculo com centro em e diâmetro de unidades.

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    19a.
Identifique a superfície cuja equaçāo, em coordenadas cilíndricas, é dada por:
.
Considere as seguintes bases do :
.
c) Calcular sabendo que