Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. ;
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície dada por , que é um paraboloide, e um plano dado por . O objetivo é encontrar um esboço gráfico da projeção da interseção entre essas duas superfícies no plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de superfícies e projeção de curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a curva de interseção entre a superfície e o plano . Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos dará a equação da curva que está na interseção das duas superfícies.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma geométrica dessa curva. Subtraindo de ambos os lados, temos:
Isso parece uma equação de segundo grau em e , possivelmente de um círculo ou elipse.
Passo 4
Para identificar claramente a forma geométrica, completamos o quadrado para a variável . Pegamos os termos que envolvem :
Substituindo de volta na equação original:
Então:
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio no plano .
Passo 5
Com a equação , sabemos que a projeção no plano é um círculo de raio centrado em . Para esboçar isso, desenhamos um círculo com esses parâmetros no sistema de coordenadas.
Resposta
A projeção da interseção entre a superfície e o plano no plano é um círculo de raio centrado no ponto . O esboço gráfico é um círculo com centro em e diâmetro de unidades.