Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. S: z=x^2+y^2 ; Pi: z=2 x;

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície S dada por z = x^2 + y^2, que é um paraboloide, e um plano Pi dado por z = 2x. O objetivo é encontrar um esboço gráfico da projeção da interseção entre essas duas superfícies no plano xy. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de superfícies e projeção de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a curva de interseção entre a superfície S e o plano Pi. Para isso, igualamos as duas equações:
x^2 + y^2 = 2x
Isso nos dará a equação da curva que está na interseção das duas superfícies.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma geométrica dessa curva. Subtraindo 2x de ambos os lados, temos:
x^2 - 2x + y^2 = 0
Isso parece uma equação de segundo grau em x e y, possivelmente de um círculo ou elipse.

Passo 4

Para identificar claramente a forma geométrica, completamos o quadrado para a variável x. Pegamos os termos que envolvem x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + y^2 = 0
Então:
(x - 1)^2 + y^2 = 1
Essa é a equação de um círculo com centro em (1, 0) e raio 1 no plano xy.

Passo 5

Com a equação (x - 1)^2 + y^2 = 1, sabemos que a projeção no plano xy é um círculo de raio 1 centrado em (1, 0). Para esboçar isso, desenhamos um círculo com esses parâmetros no sistema de coordenadas.

Resposta

A projeção da interseção entre a superfície S e o plano Pi no plano xy é um círculo de raio 1 centrado no ponto (1, 0). O esboço gráfico é um círculo com centro em (1, 0) e diâmetro de 2 unidades.

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