Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b.
;
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície
dada por
, que é um paraboloide, e um plano
dado por
. O objetivo é encontrar um esboço gráfico da projeção da interseção entre essas duas superfícies no plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de superfícies e projeção de curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a curva de interseção entre a superfície
e o plano
. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos dará a equação da curva que está na interseção das duas superfícies.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma geométrica dessa curva. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Isso parece uma equação de segundo grau em
e
, possivelmente de um círculo ou elipse.
Passo 4
Para identificar claramente a forma geométrica, completamos o quadrado para a variável
. Pegamos os termos que envolvem
:
Substituindo de volta na equação original:
Então:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
no plano
.
Passo 5
Com a equação
, sabemos que a projeção no plano
é um círculo de raio
centrado em
. Para esboçar isso, desenhamos um círculo com esses parâmetros no sistema de coordenadas.
Resposta
A projeção da interseção entre a superfície
e o plano
no plano
é um círculo de raio
centrado no ponto
. O esboço gráfico é um círculo com centro em
e diâmetro de
unidades.