Encontre a equação da reta tangente à curva , que seja paralela à reta

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à curva que seja paralela à reta . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas (para encontrar a inclinação da tangente) e entender como retas paralelas têm a mesma inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta . Para isso, vamos colocar essa equação na forma , onde é a inclinação:
Então, a inclinação da reta é 2.

Passo 3

Agora, vamos achar a inclinação da reta tangente à curva em um ponto qualquer. Para isso, precisamos derivar a função em relação a :
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 4

Como queremos que a reta tangente seja paralela à reta dada, as inclinações devem ser iguais. Então, igualamos a derivada a 2:
Resolvendo para :

Passo 5

Com o valor de , encontramos o valor correspondente de :
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 6

Agora, usamos a forma da equação da reta com a inclinação que passa pelo ponto . A fórmula da reta na forma ponto-inclinação é:
Substituindo os valores:
Distribuindo e simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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