Encontre uma equaçāo da reta tangente à hipérbole
no ponto
. Faça o gráfico da curva e da tangente encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à hipérbole
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da tangente e, depois, montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma hipérbole. A hipérbole
é uma curva que tem duas partes, cada uma se aproximando de dois assíntotas. Nosso objetivo é encontrar a reta que toca a hipérbole exatamente no ponto
e tem a mesma inclinação da hipérbole nesse ponto.
Passo 3
Para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos a expressão da derivada, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais familiar,
:
Resposta
A equação da reta tangente à hipérbole
no ponto
é:
Gráfico
Para fazer o gráfico, você pode desenhar a hipérbole
e a reta
no mesmo sistema de coordenadas. A reta tocará a hipérbole exatamente no ponto
.
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. Qual o significado da derivada
? Quais são suas unidades?
Derive as seguintes funções:
Usando a definição, obtenha o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
:
Derive as seguintes funções: