Encontre uma equaçāo da reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto 3,1. Faça o gráfico da curva e da tangente encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à hipérbole no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da tangente e, depois, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma hipérbole. A hipérbole é uma curva que tem duas partes, cada uma se aproximando de dois assíntotas. Nosso objetivo é encontrar a reta que toca a hipérbole exatamente no ponto e tem a mesma inclinação da hipérbole nesse ponto.

Passo 3

Para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A derivada de é:

Passo 4

Agora que temos a expressão da derivada, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma mais familiar, :

Resposta

A equação da reta tangente à hipérbole no ponto é:

Gráfico

Para fazer o gráfico, você pode desenhar a hipérbole e a reta no mesmo sistema de coordenadas. A reta tocará a hipérbole exatamente no ponto .

Exercícios relacionados

Um fabricante produz peças de tecido com tamanho fixo. O custo, em dólares, da produçāo de x metros de certo tecido é C = f(x). Qual o significado da derivada f'(x) ? Quais são suas unidades?
Derive as seguintes funções: f(t) = (t^2 - 3t + 1) / (t^2 - 1)
Usando a definição, obtenha o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em P(a, f(a)) : f(x) = 5 x^2 - 4 x
Derive as seguintes funções: f(x) = 5