Encontre as equações da reta tangente a curva no ponto dado:
a) y= raiz quarta de x ponto (1,1)
b)f(x)= x4-2x3+x^2 ponto (1,0)
c) y= x^4 + 2e(euler)^x ponto (0,2)
a) y= raiz quarta de x ponto (1,1)
b)f(x)= x4-2x3+x^2 ponto (1,0)
c) y= x^4 + 2e(euler)^x ponto (0,2)
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \sqrt[4]{x} $ no ponto $ (1, 1) $. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y = \sqrt[4]{x} $. Lembrando que $ \sqrt[4]{x} = x^{1/4} $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 3
Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $:
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é $ \frac{1}{4} $.
Passo 5
Com a inclinação e o ponto $ (1, 1) $, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo:
Passo 6
Simplificando a equação:
Passo 7
Portanto, a equação da reta tangente à curva $ y = \sqrt[4]{x} $ no ponto $ (1, 1) $ é:
Passo 8
Agora, vamos para a parte b) do exercício. Precisamos encontrar a reta tangente à função $ f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 $ no ponto $ (1, 0) $.
Passo 9
Primeiro, encontramos a derivada da função $ f(x) $:
Passo 10
Calculamos a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $:
A inclinação $ m $ é 0, o que significa que a reta é horizontal.
Passo 11
Usando a fórmula da reta com inclinação 0:
Passo 12
Portanto, a equação da reta tangente à função $ f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 $ no ponto $ (1, 0) $ é:
Passo 13
Finalmente, vamos resolver a parte c) do exercício. Precisamos encontrar a reta tangente à curva $ y = x^4 + 2e^{x} $ no ponto $ (0, 2) $.
Passo 14
Primeiro, encontramos a derivada da função $ y = x^4 + 2e^{x} $:
Passo 15
Calculamos a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $:
A inclinação $ m $ é 2.
Passo 16
Usando a fórmula da reta com inclinação 2 e ponto $ (0, 2) $:
Passo 17
Portanto, a equação da reta tangente à curva $ y = x^4 + 2e^{x} $ no ponto $ (0, 2) $ é:
Resposta
a) $ y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4} $
b) $ y = 0 $
c) $ y = 2x + 2 $
b) $ y = 0 $
c) $ y = 2x + 2 $