Encontre as equações da reta tangente a curva no ponto dado:
a) y= raiz quarta de x ponto (1,1)
b)f(x)= x4-2x3+x^2 ponto (1,0)
c) y= x^4 + 2e(euler)^x ponto (0,2)

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \sqrt[4]{x} $ no ponto $ (1, 1) $. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y = \sqrt[4]{x} $. Lembrando que $ \sqrt[4]{x} = x^{1/4} $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 3

Calculando a derivada:
y = x^1/4 y' = 14x^-3/4 = 14 cdot 1x^3/4 = 14x^3/4

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $:
x = 1
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é $ \frac{1}{4} $.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto $ (1, 1) $, podemos usar a fórmula da reta:
(1, 1)
Substituindo:
y - y1 = m(x - x1)

Passo 6

Simplificando a equação:
y = 14x - 14 + 1 y = 14x + 34

Passo 7

Portanto, a equação da reta tangente à curva $ y = \sqrt[4]{x} $ no ponto $ (1, 1) $ é:
y = raiz[4]x

Passo 8

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Precisamos encontrar a reta tangente à função $ f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 $ no ponto $ (1, 0) $.

Passo 9

Primeiro, encontramos a derivada da função $ f(x) $:
f(x)

Passo 10

Calculamos a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $:
x = 1
A inclinação $ m $ é 0, o que significa que a reta é horizontal.

Passo 11

Usando a fórmula da reta com inclinação 0:
y - y1 = m(x - x1) y - 0 = 0(x - 1) y = 0

Passo 12

Portanto, a equação da reta tangente à função $ f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 $ no ponto $ (1, 0) $ é:
f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2

Passo 13

Finalmente, vamos resolver a parte c) do exercício. Precisamos encontrar a reta tangente à curva $ y = x^4 + 2e^{x} $ no ponto $ (0, 2) $.

Passo 14

Primeiro, encontramos a derivada da função $ y = x^4 + 2e^{x} $:
y = x^4 + 2e^x

Passo 15

Calculamos a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $:
x = 0
A inclinação $ m $ é 2.

Passo 16

Usando a fórmula da reta com inclinação 2 e ponto $ (0, 2) $:
(0, 2)

Passo 17

Portanto, a equação da reta tangente à curva $ y = x^4 + 2e^{x} $ no ponto $ (0, 2) $ é:
y = x^4 + 2e^x

Resposta

a) $ y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4} $
b) $ y = 0 $
c) $ y = 2x + 2 $

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