Encontre F(s) ou f(t).
L^(-1) {(s+1)/((s^2 + 2s + 2)^2)}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de . O conteúdo aqui envolve transformadas de Laplace, especialmente a inversa, e vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas dessas transformadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma arrumada na expressão do denominador . A ideia é completar o quadrado para facilitar a identificação da forma da transformada.
Temos:
Isso porque , e aí somando 1 a mais dá .

Passo 3

Agora, vamos reescrever toda a expressão usando essa forma completada:
Aqui, fizemos uma mudança de variável para , o que simplifica a expressão para:
Essa mudança nos ajuda a identificar uma transformada conhecida.

Passo 4

Sabemos que a transformada de Laplace de é:
No nosso caso, , então:
Comparando com a nossa expressão , vemos que ela é metade dessa transformada:

Passo 5

Lembrando da mudança de variável que fizemos ( ), aplicamos a propriedade de deslocamento na transformada de Laplace que diz:
Aqui, , então multiplicamos a função inversa encontrada por :

Resposta

Exercícios relacionados

(2) Verifique se y1(x) e y2(x) são soluçôes da equaçâo:
(a) y''(x) - y(x) = 0, y1(x) = e^x, y2(x) = cosh(x)
Encontre F(s) ou f(t).
L{(t-1) mho(t-1)}.
(2) Verifique se y1(x) e y2(x) são soluçôes da equaçâo:
© y'' - (y')^3 + x y' = y, y1(x) = x - 1, y2(x) = ln(x)
Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}(1/((s+1)(s-2))).