Encontre o fluxo do campo vetorial f(x, y, z) = (2xy, 2yz, 2xz) para cima através da porção do plano x + y + z = 2 a que está acima do quadrado 0 <= x <= a e 0 <= y <= a, no plano x y. Resp: 13 a^4 / 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial para cima através da parte do plano que está acima do quadrado definido por e no plano . Para isso, vamos usar o conceito de fluxo de campos vetoriais através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa pela superfície. Matemáticamente, é calculado pela integral de superfície do produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície. A equação do plano é . Podemos resolver para :
Agora, expressamos a superfície em termos de e , já que estamos trabalhando acima do quadrado no plano .

Passo 4

O vetor normal à superfície, , pode ser encontrado a partir das derivadas parciais de em relação a e . Calculamos:
Assim, o vetor normal não unitário é:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal :
Substituímos na expressão:
Simplificando:

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região e :

Passo 7

Vamos resolver a integral primeiro em relação a :

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial é .

Exercícios relacionados