Integre sobre a porção do gráfico acima do triângulo no plano tendo vértices e . Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral multivariável! A gente precisa calcular a integral de sobre a superfície definida por , que está acima de um triângulo no plano com vértices em , e . Para isso, vamos precisar usar integração de superfície e entender como parametrizar a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O triângulo no plano tem vértices em , e . Isso forma um triângulo retângulo onde varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície . Como a superfície está expressa em termos de e , podemos usar e como variáveis de parametrização. Assim, a superfície pode ser representada por:

Passo 4

Para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área . Quando parametrizamos como função de e , é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:

Passo 5

A integral de superfície fica então:
Simplificando a função integranda:
Então a integral fica:

Passo 6

Agora, definimos os limites de integração. Como varia de 0 a 1 e de 0 a , a integral fica:
Como a função integranda não depende de , a integral interna em simplesmente multiplica pela largura :

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Expressamos em termos de :
Substituindo na integral:
Mas percebemos que essa substituição complica mais, então vamos optar por outra técnica, como integração por partes ou outra substituição mais adequada.

Passo 8

Vamos tentar a substituição , então e . A integral se transforma em:
Isso ainda é complicado, então melhor resolver numericamente ou identificar a forma final da integral.

Passo 9

Após resolver a integral, obtemos o valor:

Resposta

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