Integre
sobre a porção do gráfico
acima do triângulo no plano
tendo vértices
e
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral multivariável! A gente precisa calcular a integral de
sobre a superfície definida por
, que está acima de um triângulo no plano
com vértices em
,
e
. Para isso, vamos precisar usar integração de superfície e entender como parametrizar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O triângulo no plano
tem vértices em
,
e
. Isso forma um triângulo retângulo onde
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Como a superfície está expressa em termos de
e
, podemos usar
e
como variáveis de parametrização. Assim, a superfície
pode ser representada por:
Passo 4
Para calcular a integral de superfície, precisamos do elemento de área
. Quando parametrizamos
como função de
e
,
é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Passo 5
A integral de superfície fica então:
Simplificando a função integranda:
Então a integral fica:
Passo 6
Agora, definimos os limites de integração. Como
varia de 0 a 1 e
de 0 a
, a integral fica:
Como a função integranda não depende de
, a integral interna em
simplesmente multiplica pela largura
:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Expressamos
em termos de
:
Substituindo na integral:
Mas percebemos que essa substituição complica mais, então vamos optar por outra técnica, como integração por partes ou outra substituição mais adequada.
Passo 8
Vamos tentar a substituição
, então
e
. A integral se transforma em:
Isso ainda é complicado, então melhor resolver numericamente ou identificar a forma final da integral.
Passo 9
Após resolver a integral, obtemos o valor: