Encontre o fluxo do campo vetorial
para fora (normal para longe do eixo
através da superfície cortada do cilindro parabólico
pelos planos
e
. Resp: -32
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o fluxo de um campo vetorial
para fora através de uma superfície específica. A superfície é formada pela interseção do cilindro parabólico
com os planos
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que basicamente mede quanto de um campo vetorial passa através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície. O cilindro parabólico
abre para baixo, e estamos cortando esse cilindro com os planos
e
, que são planos verticais paralelos ao eixo y, e com o plano
, que é o plano xy. Isso forma uma espécie de “paralelepípedo” curvado.
Passo 3
Para calcular o fluxo, a gente vai usar a Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo no volume limitado por essa superfície. A fórmula é:
Onde:
-
é o vetor normal à superfície. -
é o volume dentro da superfície . -
é a divergência do campo vetorial .
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
. O volume está limitado por
,
,
e
. Para parametrizar, vamos determinar os limites de integração:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a , mas como , rearranjando, temos de a . -
varia de 0 a .
Então, a integral tripla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral se torna:
Agora, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Resposta
-32
Exercícios relacionados
Integre
sobre a porção do gráfico
acima do triângulo no plano
tendo vértices
e
. Resp:
Encontre o fluxo do campo vetorial
para cima através da porção do plano
que está acima do quadrado
e
, no plano
. Resp:
Encontre a integral de superfície
, sendo
através do cilindro parabólico cuja parametrização é dada por
,
na direção
indicada na figura. Resp: 2
Use, se possível, o Teorema da Condição Necessária para decidir se as séries convergem ou divergem:
.