Encontre o fluxo do campo vetorial f(x, y, z) = (z^2, x, -3z) para fora (normal para longe do eixo x através da superfície cortada do cilindro parabólico z = 4 - y^2 pelos planos x = 0, x = 1 e z = 0. Resp: -32

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o fluxo de um campo vetorial para fora através de uma superfície específica. A superfície é formada pela interseção do cilindro parabólico com os planos , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que basicamente mede quanto de um campo vetorial passa através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície. O cilindro parabólico abre para baixo, e estamos cortando esse cilindro com os planos e , que são planos verticais paralelos ao eixo y, e com o plano , que é o plano xy. Isso forma uma espécie de “paralelepípedo” curvado.

Passo 3

Para calcular o fluxo, a gente vai usar a Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência do campo no volume limitado por essa superfície. A fórmula é:
Onde:
  • é o vetor normal à superfície.
  • é o volume dentro da superfície .
  • é a divergência do campo vetorial .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
ã
ã
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume . O volume está limitado por , , e . Para parametrizar, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a , mas como , rearranjando, temos de a .
  • varia de 0 a .
Então, a integral tripla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral se torna:
Agora, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Resposta

-32

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