Encontre, por integração dupla, a área da região do plano-xy, limitada pelas curvas
e
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a área da região no plano xy limitada pelas curvas
e
usando integração dupla. Para isso, precisamos descobrir onde essas curvas se cruzam e então calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações de y:
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Portanto, as soluções são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em
e
, vamos encontrar as coordenadas desses pontos.
Para
:
Então, o ponto é (0, 0).
Para
:
Ou, verificando com a segunda equação:
Então, o ponto é (2, 4).
Passo 5
Agora, vamos identificar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de
a
. Observando as equações:
- Para
, a curva é uma parábola que abre para cima. - Para
, a curva é uma parábola que abre para baixo.
No intervalo considerado,
está acima de
.
Passo 6
Com isso, a área entre as duas curvas pode ser calculada integrando a diferença das funções de
a
:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.