2,5 Encontre, por integração dupla, a área da região do plano-xy, limitada pelas curvas y = x^2 * e y = 4x - x^2

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a área da região no plano xy limitada pelas curvas e usando integração dupla. Para isso, precisamos descobrir onde essas curvas se cruzam e então calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações de y:

Passo 3

Resolvendo a equação :
Portanto, as soluções são e .

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em e , vamos encontrar as coordenadas desses pontos.
Para :
Então, o ponto é (0, 0).
Para :
Ou, verificando com a segunda equação:
Então, o ponto é (2, 4).

Passo 5

Agora, vamos identificar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de a . Observando as equações:
  • Para , a curva é uma parábola que abre para cima.
  • Para , a curva é uma parábola que abre para baixo.
No intervalo considerado, está acima de .

Passo 6

Com isso, a área entre as duas curvas pode ser calculada integrando a diferença das funções de a :
Á

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Á

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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