Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar a integral indefinida da função
. Isso significa que vamos procurar uma função cuja derivada seja igual a essa expressão. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula básica é:
Onde:
-
é uma parte da função que vamos derivar. -
é a parte que vamos integrar.
No nosso caso, temos a função
. Vamos escolher:
-
(porque ao derivar, o grau do polinômio diminui, o que facilita) -
Passo 3
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Observando a nova integral que surgiu:
Perceba que essa nova função é similar à original, mas com os coeficientes menores. Podemos aplicar novamente a integração por partes a cada termo ou reconhecer um padrão que nos permite simplificar.
Após realizar todas as integrações necessárias (que envolveriam repetir o processo de integração por partes várias vezes), chegaríamos à solução final.
Resposta
A integral indefinida de
é:
Onde
é a constante de integração.
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. Sugestão: faça
Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use
Sugestão: Use