Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar a integral indefinida da função . Isso significa que vamos procurar uma função cuja derivada seja igual a essa expressão. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula básica é:
Onde:
  • é uma parte da função que vamos derivar.
  • é a parte que vamos integrar.
No nosso caso, temos a função . Vamos escolher:
  • (porque ao derivar, o grau do polinômio diminui, o que facilita)

Passo 3

Agora, vamos encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Observando a nova integral que surgiu:
Perceba que essa nova função é similar à original, mas com os coeficientes menores. Podemos aplicar novamente a integração por partes a cada termo ou reconhecer um padrão que nos permite simplificar.
Após realizar todas as integrações necessárias (que envolveriam repetir o processo de integração por partes várias vezes), chegaríamos à solução final.

Resposta

A integral indefinida de é:
Onde é a constante de integração.

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. Sugestão: faça
Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois a integração por partes.
.
Sugestão: Use