Encontre a integral indefinida de ∫ sen2 (x).cos (x) dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida de integral sin^2(x) cos(x) , dx. A gente vai precisar usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituição. Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com funções trigonométricas e precisamos simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos olhar para sin^2(x) e lembrar que podemos usar a identidade trigonométrica sin^2(x) = 1 - cos^2(x) para simplificar a integral. Assim, temos:
integral sin^2(x) cos(x) , dx = integral (1 - cos^2(x)) cos(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos distribuir o cos(x) dentro do parêntese:
integral (1 - cos^2(x)) cos(x) , dx = integral cos(x) , dx - integral cos^3(x) , dx

Passo 4

Vamos tratar cada integral separadamente. Começando com integral cos(x) , dx, que é uma integral padrão:
integral cos(x) , dx = sin(x)

Passo 5

Agora, vamos resolver integral cos^3(x) , dx. Para isso, vamos usar uma substituição. Vamos escrever cos^3(x) como cos^2(x) cos(x) e usar a identidade cos^2(x) = 1 - sin^2(x):
integral cos^3(x) , dx = integral (1 - sin^2(x)) cos(x) , dx

Passo 6

Vamos fazer a substituição u = sin(x), então du = cos(x) , dx. Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
Voltando para x:
sin(x) - sin^3(x)3 + C

Passo 7

Agora, voltando à nossa expressão original:
integral cos(x) , dx - integral cos^3(x) , dx = sin(x) - ( sin(x) - sin^3(x)3 ) + C
Simplificando:
sin(x) - sin(x) + sin^3(x)3 + C = sin^3(x)3 + C

Resposta

A integral indefinida de sin^2(x) cos(x) , dx é:
sin^3(x)3 + C

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