Encontre um intervalo para o qual o PVI
tenha solução única.
tenha solução única.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve uma equação diferencial de terceira ordem. O objetivo é encontrar um intervalo onde esse problema de valor inicial (PVI) tem uma solução única. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as condições de existência e unicidade para equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, é importante reescrever a equação diferencial na forma padrão, ou seja, isolando o termo de maior derivada. Nossa equação é:
Vamos dividir todos os termos por
para isolar
:
Passo 3
Agora, segundo o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares, a solução única existe se os coeficientes envolvidos na equação forem contínuos no intervalo considerado. Ou seja, precisamos que todas as funções que multiplicam as derivadas e o termo independente sejam contínuas nesse intervalo.
Passo 4
Vamos analisar os coeficientes da nossa equação reescrita:
Para essas expressões serem contínuas, o denominador não pode ser zero. Portanto, os pontos onde
são problemáticos. Isso ocorre quando
ou
.
Passo 5
Como nosso ponto inicial é
, queremos um intervalo que inclua esse ponto e que não contenha os valores onde a equação fica indefinida (
e
). Portanto, o maior intervalo possível que inclui
e não ultrapassa os pontos problemáticos é de
até
.
Resposta
O intervalo onde o PVI tem solução única é
.
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Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b)
, c)
, d)
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)