Encontre um intervalo para o qual o PVI
x(x-1) y^prime prime prime-3 x y^prime prime+6 x^2 y^prime-e^x y=raizx+5 y(-2)=0, y^prime(-2)=1, y^prime prime(-2)=-1
tenha solução única.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve uma equação diferencial de terceira ordem. O objetivo é encontrar um intervalo onde esse problema de valor inicial (PVI) tem uma solução única. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as condições de existência e unicidade para equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, é importante reescrever a equação diferencial na forma padrão, ou seja, isolando o termo de maior derivada. Nossa equação é:
x(x-1) y''' -3 x y'' +6 x^2 y' - e^x y = raizx+5
Vamos dividir todos os termos por x(x-1) para isolar y''':
y''' = 3xx(x-1) y'' - 6x^2x(x-1) y' + e^xx(x-1) y + raizx+5x(x-1)

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares, a solução única existe se os coeficientes envolvidos na equação forem contínuos no intervalo considerado. Ou seja, precisamos que todas as funções que multiplicam as derivadas e o termo independente sejam contínuas nesse intervalo.

Passo 4

Vamos analisar os coeficientes da nossa equação reescrita:
  • 3xx(x-1) = 3x-1
  • 6x^2x(x-1) = 6xx-1
  • e^xx(x-1)
  • raizx+5x(x-1)
Para essas expressões serem contínuas, o denominador não pode ser zero. Portanto, os pontos onde x(x-1) = 0 são problemáticos. Isso ocorre quando x = 0 ou x = 1.

Passo 5

Como nosso ponto inicial é x = -2, queremos um intervalo que inclua esse ponto e que não contenha os valores onde a equação fica indefinida ( x = 0 e x = 1). Portanto, o maior intervalo possível que inclui x = -2 e não ultrapassa os pontos problemáticos é de -infty até 0.

Resposta

O intervalo onde o PVI tem solução única é x in (-infty, , 0).

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