Encontre um intervalo para o qual o PVI

tenha solução única.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve uma equação diferencial de terceira ordem. O objetivo é encontrar um intervalo onde esse problema de valor inicial (PVI) tem uma solução única. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as condições de existência e unicidade para equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, é importante reescrever a equação diferencial na forma padrão, ou seja, isolando o termo de maior derivada. Nossa equação é:
Vamos dividir todos os termos por para isolar :

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares, a solução única existe se os coeficientes envolvidos na equação forem contínuos no intervalo considerado. Ou seja, precisamos que todas as funções que multiplicam as derivadas e o termo independente sejam contínuas nesse intervalo.

Passo 4

Vamos analisar os coeficientes da nossa equação reescrita:
Para essas expressões serem contínuas, o denominador não pode ser zero. Portanto, os pontos onde são problemáticos. Isso ocorre quando ou .

Passo 5

Como nosso ponto inicial é , queremos um intervalo que inclua esse ponto e que não contenha os valores onde a equação fica indefinida ( e ). Portanto, o maior intervalo possível que inclui e não ultrapassa os pontos problemáticos é de até .

Resposta

O intervalo onde o PVI tem solução única é .

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Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b) , c) , d)