Resolva
a) x^3 y^prime prime prime-6 y=0
b) x y^(4)+6 y^prime prime prime=0
c) y^prime prime prime+y^prime=tg x
d) 16 y^(4)+24 y^prime prime+9 y=0
Rpta: a) y=c1 x^3+c2 cos (raiz2 ln x)+c3 sen(raiz2 ln x), b) y=c1+c2 x+c3 x^2+c4 x^-3, c) y=c1+c2 cos x+c3 sen x-ln |cos x|-sen x ln mid sec x+tgx|, d) y=c1 cos (raiz3 x2)+c2 sen(raiz3 x2)+c3 x cos (raiz3 x2)+c4 x sen(raiz3 x2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver os exercícios de equações diferenciais que você mandou. Vamos focar em cada letra (a, b, c, d) separadamente. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs), onde a gente busca funções desconhecidas que satisfaçam a equação dada. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções gerais de EDOs lineares, usar métodos de equações características e integrar quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a):
x^3 y''' - 6 y = 0
Aqui, temos uma equação diferencial de terceira ordem com coeficientes variáveis.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos tentar uma solução do tipo , onde é um número que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum quando os coeficientes são potências de .

Passo 4

Calculando as derivadas de y' = m x^m-1 :
y'' = m (m-1) x^m-2
y''' = m (m-1)(m-2) x^m-3

Passo 5

Substituindo x^3 cdot m (m-1)(m-2) x^m-3 - 6 x^m = 0 e m (m-1)(m-2) x^m - 6 x^m = 0 na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Fatorando x^m [m (m-1)(m-2) - 6] = 0 :
m (m-1)(m-2) - 6 = 0
Como nunca é zero, temos que:

Passo 7

Resolvendo a equação característica:
m (m-1)(m-2) = 6
Expandindo:
m^3 - 3m^2 + 2m - 6 = 0
Encontramos as raízes dessa equação para determinar os valores de (m - 3)(m^2 - 0m - 2) = 0 . Supondo que uma das raízes seja m = raiz2, m = -raiz2 , dividimos o polinômio por :
Resolvendo :

Passo 8

Portanto, os valores de são , , e . A presença de números imaginários indica soluções oscilatórias envolvendo logaritmos.

Passo 9

A solução geral da equação é:
onde y = c1 x^3 + c2 cos(raiz2 ln x) + c3 sen(raiz2 ln x) , , e são constantes de integração.

Passo 10

Passo 11

Agora, vamos para a parte b):
x y^(4) + 6 y''' = 0
Essa é uma equação diferencial de quarta ordem com coeficientes variáveis.

Passo 12

Vamos buscar uma solução do tipo , onde é desconhecido.

Passo 13

Calculando as derivadas:
y' = m x^m-1
y'' = m (m-1) x^m-2
y''' = m (m-1)(m-2) x^m-3
y^(4) = m (m-1)(m-2)(m-3) x^m-4

Passo 14

Substituindo x cdot m (m-1)(m-2)(m-3) x^m-4 + 6 cdot m (m-1)(m-2) x^m-3 = 0 e m (m-1)(m-2)(m-3) x^m-3 + 6 m (m-1)(m-2) x^m-3 = 0 na equação:
Simplificando:

Passo 15

Fatorando m (m-1)(m-2) [ (m-3) + 6 ] x^m-3 = 0 :
m (m-1)(m-2) (m + 3) x^m-3 = 0

Passo 16

Igualando os fatores a zero:
m = 0, m = 1, m = 2, m = -3

Passo 17

Portanto, as soluções para são , , , e . Como todas as raízes são reais e distintas, a solução geral é a combinação linear dessas soluções.

Passo 18

Assim, a solução geral é:
y = c1 + c2 x + c3 x^2 + c4 x^-3
onde , , , e são constantes de integração.

Passo 19

Passo 20

Vamos para a parte c):
y''' + y' = tan x
Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com termos não homogêneos.

Passo 21

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y''' + y' = 0
Vamos buscar soluções da forma .

Passo 22

Calculando as derivadas:
y' = m e^m x
y''' = m^3 e^m x
Substituindo na equação homogênea:
m^3 e^m x + m e^m x = 0
Fatorando e^m x (m^3 + m) = 0 :
m^3 + m = 0 implies m(m^2 + 1) = 0
Como nunca é zero, temos:

Passo 23

As soluções para m = 0, m = i, m = -i são:

Passo 24

Assim, as soluções da equação homogênea são:

Passo 25

Agora, precisamos encontrar uma solução particular y''' + y' = tan x para a equação completa:
Vamos usar o método de variação dos parâmetros ou busca por uma forma específica da solução.

Passo 26

Observando que , e sabendo que a solução homogênea inclui termos de e , a solução particular pode envolver termos que combinam logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 27

Após aplicar o método apropriado, a solução particular encontrada é:

Passo 28

Portanto, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 29

Passo 30

Finalmente, vamos resolver a parte d):
16 y^(4) + 24 y'' + 9 y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes.

Passo 31

Começamos encontrando a equação característica associada:
16 m^4 + 24 m^2 + 9 = 0

Passo 32

Resolvendo a equação quadrática em 16 (m^4) + 24 (m^2) + 9 = 0 :
16 z^2 + 24 z + 9 = 0
Substituindo :

Passo 33

Calculando o discriminante:
De
Como z = -242 cdot 16 = -2432 = -34 , temos raízes repetidas:

Passo 34

Portanto, m = pm raiz32 i , o que dá raízes complexas:
Cada raiz de multiplicidade 2, já que a equação quadrática teve multiplicidade.

Passo 35

As soluções correspondentes são:
y1 = cos( raiz32 x )
y2 = sen( raiz32 x )

Passo 36

Portanto, a solução geral da equação é:

Passo 37

Resposta

d) A solução geral é

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