Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)
, b)
, c)
, d)
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver os exercícios de equações diferenciais que você mandou. Vamos focar em cada letra (a, b, c, d) separadamente. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs), onde a gente busca funções desconhecidas que satisfaçam a equação dada. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções gerais de EDOs lineares, usar métodos de equações características e integrar quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a):
Aqui, temos uma equação diferencial de terceira ordem com coeficientes variáveis.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos tentar uma solução do tipo
, onde
é um número que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum quando os coeficientes são potências de
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos que:
Passo 7
Resolvendo a equação característica:
Expandindo:
Encontramos as raízes dessa equação para determinar os valores de
. Supondo que uma das raízes seja
, dividimos o polinômio por
:
Resolvendo
:
Passo 8
Portanto, os valores de
são
,
, e
. A presença de números imaginários indica soluções oscilatórias envolvendo logaritmos.
Passo 9
A solução geral da equação é:
onde
,
, e
são constantes de integração.
Passo 10
Passo 11
Agora, vamos para a parte b):
Essa é uma equação diferencial de quarta ordem com coeficientes variáveis.
Passo 12
Vamos buscar uma solução do tipo
, onde
é desconhecido.
Passo 13
Calculando as derivadas:
Passo 14
Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Passo 15
Fatorando
:
Passo 16
Igualando os fatores a zero:
Passo 17
Portanto, as soluções para
são
,
,
, e
. Como todas as raízes são reais e distintas, a solução geral é a combinação linear dessas soluções.
Passo 18
Assim, a solução geral é:
onde
,
,
, e
são constantes de integração.
Passo 19
Passo 20
Vamos para a parte c):
Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com termos não homogêneos.
Passo 21
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Vamos buscar soluções da forma
.
Passo 22
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 23
As soluções para
são:
Passo 24
Assim, as soluções da equação homogênea são:
Passo 25
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos usar o método de variação dos parâmetros ou busca por uma forma específica da solução.
Passo 26
Observando que
, e sabendo que a solução homogênea inclui termos de
e , a solução particular pode envolver termos que combinam logaritmos e funções trigonométricas.
Passo 27
Após aplicar o método apropriado, a solução particular encontrada é:
Passo 28
Portanto, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 29
Passo 30
Finalmente, vamos resolver a parte d):
Essa é uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes.
Passo 31
Começamos encontrando a equação característica associada:
Passo 32
Resolvendo a equação quadrática em
:
Substituindo
:
Passo 33
Calculando o discriminante:
Como
, temos raízes repetidas:
Passo 34
Portanto,
, o que dá raízes complexas:
Cada raiz de multiplicidade 2, já que a equação quadrática teve multiplicidade.
Passo 35
As soluções correspondentes são:
Passo 36
Portanto, a solução geral da equação é:
Passo 37
Resposta
d) A solução geral é