Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b) , c) , d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver os exercícios de equações diferenciais que você mandou. Vamos focar em cada letra (a, b, c, d) separadamente. A matéria envolvida aqui é **equações diferenciais ordinárias (EDOs)**, onde a gente busca funções desconhecidas que satisfaçam a equação dada. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções gerais de EDOs lineares, usar métodos de equações características e integrar quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte **a)**:
Aqui, temos uma equação diferencial de terceira ordem com coeficientes variáveis.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos tentar uma solução do tipo , onde é um número que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum quando os coeficientes são potências de .
Passo 4
Calculando as derivadas de :
Passo 5
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Fatorando :
Como nunca é zero, temos que:
Passo 7
Resolvendo a equação característica:
Expandindo:
Encontramos as raízes dessa equação para determinar os valores de . Supondo que uma das raízes seja , dividimos o polinômio por :
Resolvendo :
Passo 8
Portanto, os valores de são , , e . A presença de números imaginários indica soluções oscilatórias envolvendo logaritmos.
Passo 9
A solução geral da equação é:
onde , , e são constantes de integração.
Passo 10
Passo 11
Agora, vamos para a parte **b)**:
Essa é uma equação diferencial de quarta ordem com coeficientes variáveis.
Passo 12
Vamos buscar uma solução do tipo , onde é desconhecido.
Passo 13
Calculando as derivadas:
Passo 14
Substituindo e na equação:
Simplificando:
Passo 15
Fatorando :
Passo 16
Igualando os fatores a zero:
Passo 17
Portanto, as soluções para são , , , e . Como todas as raízes são reais e distintas, a solução geral é a combinação linear dessas soluções.
Passo 18
Assim, a solução geral é:
onde , , , e são constantes de integração.
Passo 19
Passo 20
Vamos para a parte **c)**:
Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com termos não homogêneos.
Passo 21
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Vamos buscar soluções da forma .
Passo 22
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando :
Como nunca é zero, temos:
Passo 23
As soluções para são:
Passo 24
Assim, as soluções da equação homogênea são:
Passo 25
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos usar o método de variação dos parâmetros ou busca por uma forma específica da solução.
Passo 26
Observando que , e sabendo que a solução homogênea inclui termos de e , a solução particular pode envolver termos que combinam logaritmos e funções trigonométricas.
Passo 27
Após aplicar o método apropriado, a solução particular encontrada é:
Passo 28
Portanto, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 29
Passo 30
Finalmente, vamos resolver a parte **d)**:
Essa é uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes.
Passo 31
Começamos encontrando a equação característica associada:
Passo 32
Resolvendo a equação quadrática em :
Substituindo :
Passo 33
Calculando o discriminante:
Como , temos raízes repetidas:
Passo 34
Portanto, , o que dá raízes complexas:
Cada raiz de multiplicidade 2, já que a equação quadrática teve multiplicidade.
Passo 35
As soluções correspondentes são:
Passo 36
Portanto, a solução geral da equação é:
Passo 37
Resposta
d) A solução geral é
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a)
b)
Rpta: a) , b)
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a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b) , c) , d)