Resolva a) b) c) d) Rpta: a) , b) , c) , d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver os exercícios de equações diferenciais que você mandou. Vamos focar em cada letra (a, b, c, d) separadamente. A matéria envolvida aqui é **equações diferenciais ordinárias (EDOs)**, onde a gente busca funções desconhecidas que satisfaçam a equação dada. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções gerais de EDOs lineares, usar métodos de equações características e integrar quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte **a)**: Aqui, temos uma equação diferencial de terceira ordem com coeficientes variáveis.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos tentar uma solução do tipo , onde é um número que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum quando os coeficientes são potências de .

Passo 4

Calculando as derivadas de :

Passo 5

Substituindo e na equação original: Simplificando:

Passo 6

Fatorando : Como nunca é zero, temos que:

Passo 7

Resolvendo a equação característica: Expandindo: Encontramos as raízes dessa equação para determinar os valores de . Supondo que uma das raízes seja , dividimos o polinômio por : Resolvendo :

Passo 8

Portanto, os valores de são , , e . A presença de números imaginários indica soluções oscilatórias envolvendo logaritmos.

Passo 9

A solução geral da equação é: onde , , e são constantes de integração.

Passo 10

Passo 11

Agora, vamos para a parte **b)**: Essa é uma equação diferencial de quarta ordem com coeficientes variáveis.

Passo 12

Vamos buscar uma solução do tipo , onde é desconhecido.

Passo 13

Calculando as derivadas:

Passo 14

Substituindo e na equação: Simplificando:

Passo 15

Fatorando :

Passo 16

Igualando os fatores a zero:

Passo 17

Portanto, as soluções para são , , , e . Como todas as raízes são reais e distintas, a solução geral é a combinação linear dessas soluções.

Passo 18

Assim, a solução geral é: onde , , , e são constantes de integração.

Passo 19

Passo 20

Vamos para a parte **c)**: Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem com termos não homogêneos.

Passo 21

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada: Vamos buscar soluções da forma .

Passo 22

Calculando as derivadas: Substituindo na equação homogênea: Fatorando : Como nunca é zero, temos:

Passo 23

As soluções para são:

Passo 24

Assim, as soluções da equação homogênea são:

Passo 25

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa: Vamos usar o método de variação dos parâmetros ou busca por uma forma específica da solução.

Passo 26

Observando que , e sabendo que a solução homogênea inclui termos de e , a solução particular pode envolver termos que combinam logaritmos e funções trigonométricas.

Passo 27

Após aplicar o método apropriado, a solução particular encontrada é:

Passo 28

Portanto, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 29

Passo 30

Finalmente, vamos resolver a parte **d)**: Essa é uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes.

Passo 31

Começamos encontrando a equação característica associada:

Passo 32

Resolvendo a equação quadrática em : Substituindo :

Passo 33

Calculando o discriminante: Como , temos raízes repetidas:

Passo 34

Portanto, , o que dá raízes complexas: Cada raiz de multiplicidade 2, já que a equação quadrática teve multiplicidade.

Passo 35

As soluções correspondentes são:

Passo 36

Portanto, a solução geral da equação é:

Passo 37

Resposta

d) A solução geral é

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