Encontre a inversa de cada matriz dada se possível: A=[ccc1 & 1 & -1 2 & 1 & 1 3 & -1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 1 & 1 & -1 2 & 1 & 1 3 & -1 & 1 dada por:
O objetivo aqui é encontrar a inversa dessa matriz, se ela existir. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e matriz adjunta. Nosso plano é:
  1. Calcular o determinante de .
  2. Verificar se o determinante é diferente de zero (porque só existe inversa se o determinante for diferente de zero).
  3. Calcular a matriz adjunta de .
  4. Obter a inversa usando a fórmula .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
A = a & b & c d & e & f g & h & i = 1 & 1 & -1 2 & 1 & 1 3 & -1 & 1
Onde os elementos de det(A) = 1(1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - 1(2 cdot 1 - 1 cdot 3) + (-1)(2 cdot (-1) - 1 cdot 3) são:
det(A) = 1(1 + 1) - 1(2 - 3) + (-1)(-2 - 3) = 1(2) - 1(-1) + (-1)(-5)
Substituindo os valores:
det(A) = 2 + 1 + 5 = 8
Calculando termo a termo:

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero, sabemos que a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a matriz adjunta de .
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Então, primeiro encontramos os cofatores de cada elemento de .

Passo 4

Vamos calcular os cofatores:
Para cada elemento Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) da matriz 1 & 1 -1 & 1 , o cofator 2 & 1 3 & 1 é dado por:
2 & 1 3 & -1
onde 1 & -1 -1 & 1 é a matriz minor, obtida removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna de 1 & -1 3 & 1 .
Vamos calcular cada cofator:
  • 1 & 1 3 & -1
  • 1 & -1 1 & 1
  • 1 & -1 2 & 1
  • 1 & 1 2 & 1

Passo 5

Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores C = 2 & 1 & -5 0 & 4 & 4 2 & -3 & -1 :
adj(A) = C^T = 2 & 0 & 2 1 & 4 & -3 -5 & 4 & -1
A seguir, encontramos a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 6

Por fim, usamos a fórmula para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) :
A^-1 = 18 cdot 2 & 0 & 2 1 & 4 & -3 -5 & 4 & -1 = 28 & 0 & 28 18 & 48 & -38 -58 & 48 & -18
Sabemos que A^-1 = 14 & 0 & 14 18 & 12 & -38 -58 & 12 & -18 , então:
Simplificando as frações:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 14 & 0 & 14 18 & 12 & -38 -58 & 12 & -18 é:

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