Determine a equação vetorial da reta r que é a interseção dos planos
pi1: x+3 y+z-9=0
e
pi2: 3 x+y-z-3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação vetorial da reta que é a interseção de dois planos: e . A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, especificamente o conceito de interseção de planos para encontrar uma reta. Para resolver, vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar uma direção e um ponto na reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor direção para a reta . Esse vetor será perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais dos planos e são, respectivamente, e .

Passo 3

Para encontrar o vetor direção da reta d = n1 times n2 = i & j & k 1 & 3 & 1 3 & 1 & -1 , vamos calcular o produto vetorial entre d = i(3 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 1 cdot 3) + k(1 cdot 1 - 3 cdot 3) e d = i(-3 - 1) - j(-1 - 3) + k(1 - 9) . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos, que será o nosso vetor direção.
d = -4i + 4j -8k
Calculando o determinante:
d = (-1, 1, -2)
Podemos simplificar dividindo por 4:

Passo 4

Agora que temos o vetor direção x + 3y + z = 9 3x + y - z = 3 , precisamos de um ponto que pertença à reta (x + 3y + z) + (3x + y - z) = 9 + 3 . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos planos para encontrar um ponto de interseção.
4x + 4y = 12
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, somar as duas equações para eliminar x + y = 3 (Dividindo tudo por 4) :
x = 3 - y
(3 - y) + 3y + z = 9
3 + 2y + z = 9
Vamos expressar 2y + z = 6 em função de z = 6 - 2y :
x = 3 - 0 = 3
Agora, vamos substituir z = 6 - 2 cdot 0 = 6 na primeira equação para encontrar :
Podemos escolher um valor para para encontrar um ponto específico. Vamos escolher :
Então, um ponto na reta é .

Passo 5

Com o vetor direção r = P + td e o ponto r = (3, 0, 6) + t(-1, 1, -2) , podemos escrever a equação vetorial da reta :
Onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação vetorial da reta r = (3, 0, 6) + t,(-1, 1, -2), t in R é

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