Determine a equação vetorial da reta que é a interseção dos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação vetorial da reta que é a interseção de dois planos: e . A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, especificamente o conceito de interseção de planos para encontrar uma reta. Para resolver, vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar uma direção e um ponto na reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um vetor direção para a reta . Esse vetor será perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais dos planos e são, respectivamente, e .
Passo 3
Para encontrar o vetor direção da reta , vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos, que será o nosso vetor direção.
Calculando o determinante:
d = (-1, 1, -2)
Podemos simplificar dividindo por 4:
Passo 4
Agora que temos o vetor direção x + 3y + z = 9 3x + y - z = 3 , precisamos de um ponto que pertença à reta (x + 3y + z) + (3x + y - z) = 9 + 3 . Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos planos para encontrar um ponto de interseção.
4x + 4y = 12
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, somar as duas equações para eliminar x + y = 3 (Dividindo tudo por 4) :
x = 3 - y
(3 - y) + 3y + z = 9
3 + 2y + z = 9
Vamos expressar 2y + z = 6 em função de z = 6 - 2y :
x = 3 - 0 = 3
Agora, vamos substituir z = 6 - 2 cdot 0 = 6 na primeira equação para encontrar :
Podemos escolher um valor para para encontrar um ponto específico. Vamos escolher :
Então, um ponto na reta é .
Passo 5
Com o vetor direção r = P + td e o ponto r = (3, 0, 6) + t(-1, 1, -2) , podemos escrever a equação vetorial da reta :
Onde é um parâmetro real.
Resposta
A equação vetorial da reta r = (3, 0, 6) + t,(-1, 1, -2), t in R é