Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
j.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a matriz dada é invertível. Se for, vamos calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. O determinante é um número que a gente calcula a partir dos elementos da matriz e que nos diz várias propriedades dela, como se ela pode ser invertida.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz:
1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
Essa é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), e para essas matrizes, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4
Calculando o determinante:
det = 1 times 1 times 1 = 1
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 5
Agora que sabemos que a matriz é invertível, vamos encontrar a matriz inversa. Para matrizes triangulares com elementos 1 na diagonal, a inversa também será triangular e podemos encontrar os elementos invertendo os coeficientes acima da diagonal.
Passo 6
Vamos montar a inversa passo a passo. Sabemos que a diagonais serão 1, então focamos nos elementos acima dela:
[ 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1 ^-1 = 1 & -a & a c - b 0 & 1 & -c 0 & 0 & 1 ^{-1}
1 & -1 & (1)(1) - 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
]
Aplicando isso à nossa matriz original onde , e :
[