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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a divergência do rotacional de um campo vetorial, ou seja, calcular . O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente operações de derivadas aplicadas a vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são divergência e rotacional, e como aplicá-los ao campo vetorial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um vetor. O rotacional, denotado por , mede a tendência do vetor de “girar” ao redor de um ponto. Já a divergência, representada por , mede a quantidade de “fluxo” que está saindo de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando tiramos a divergência do rotacional de um vetor. Existe uma propriedade importante no cálculo vetorial que diz que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em termos matemáticos:
Essa propriedade é válida para qualquer função vetorial suficientemente suave, ou seja, que tenha as derivadas necessárias para que as operações façam sentido.

Passo 4

Para confirmar isso com o campo vetorial dado, , vamos calcular o rotacional e depois a divergência desse rotacional.
Primeiro, calculamos o rotacional:
Calculando o determinante, obtemos:
Simplificando as derivadas:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a divergência desse rotacional:
Calculando cada derivada parcial:
  • (já que não depende de )
  • (já que não depende de )
  • (já que não depende de )

Resposta

Portanto, .

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