Use substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a integral utilizando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões dentro de uma raiz quadrada que se encaixam em formas como . Precisamos identificar qual substituição trigonométrica aplicar para simplificar a integral.
Passo 2
Observando a expressão , podemos reescrevê-la como . Isso se assemelha à forma , onde e . Para integrar usando substituição trigonométrica nesse caso, usamos a substituição , já que estamos lidando com a diferença de quadrados.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que a integral de é . Então:
Passo 7
Agora, precisamos retornar à variável . Lembrando da substituição , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
E .
Passo 8
Substituindo e de volta na expressão:
Podemos simplificar removendo o denominador dentro do logaritmo:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.