Use substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a integral utilizando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões dentro de uma raiz quadrada que se encaixam em formas como . Precisamos identificar qual substituição trigonométrica aplicar para simplificar a integral.

Passo 2

Observando a expressão , podemos reescrevê-la como . Isso se assemelha à forma , onde e . Para integrar usando substituição trigonométrica nesse caso, usamos a substituição , já que estamos lidando com a diferença de quadrados.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que a integral de é . Então:

Passo 7

Agora, precisamos retornar à variável . Lembrando da substituição , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
E .

Passo 8

Substituindo e de volta na expressão:
Podemos simplificar removendo o denominador dentro do logaritmo:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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