Use substituição trigonométrica para calcular as integrais abaixo:
integral 1raiz4 x^2-49 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral utilizando substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões dentro de uma raiz quadrada que se encaixam em formas como . Precisamos identificar qual substituição trigonométrica aplicar para simplificar a integral.

Passo 2

Observando a expressão , podemos reescrevê-la como . Isso se assemelha à forma , onde e . Para integrar usando substituição trigonométrica nesse caso, usamos a substituição , já que estamos lidando com a diferença de quadrados.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dx = 72 cdot sin thetacos^2 theta , dtheta . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo integral 1raiz4x^2 - 49 , dx = integral 1raiz(49cos^2 theta) - 49 cdot 7 sin theta2 cos^2 theta , dtheta e raiz49cos^2 theta - 49 = raiz49 - 49 cos^2 thetacos^2 theta = raiz49 sin^2 thetacos^2 theta = 7 sin thetacos theta na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
integral 17 sin thetacos theta cdot 7 sin theta2 cos^2 theta , dtheta = integral cos theta7 sin theta cdot 7 sin theta2 cos^2 theta , dtheta
Simplificando:
integral 12 cos theta , dtheta = 12 integral sec theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que a integral de 12 ln |sec theta + tan theta| + C é . Então:

Passo 7

Agora, precisamos retornar à variável cos theta = 72x, sin theta = raiz4x^2 - 492x, tan theta = raiz4x^2 - 497 . Lembrando da substituição , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
E .

Passo 8

Substituindo 12 ln |2x7 + raiz4x^2 - 497| + C = 12 ln |2x + raiz4x^2 - 497| + C e 12 ln |2x + raiz4x^2 - 49| + C de volta na expressão:
Podemos simplificar removendo o denominador dentro do logaritmo:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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