Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global: f(x) = x^3 - 3x + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um deles como máximo ou mínimo, local ou global. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a inclinação da função é zero, que são os pontos críticos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essa derivada é igual a zero, porque esses valores de são os candidatos a pontos críticos.
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada, que nos diz se o ponto é um ponto de mínimo (quando a segunda derivada é positiva) ou de máximo (quando é negativa).
A segunda derivada de é:

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico.
Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo local.
Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Mínimo local.
  • : Máximo local.
Não há máximos ou mínimos globais, pois a função é do terceiro grau e vai para e quando tende a e , respectivamente.

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Com ajuda da primeira e da segunda derivada das funções faça um esboço do seu gráfico, confira seu resultado no Geogebra.
$f(x)=8 x-1,3 \leq x \leq \infty$
Use o roteiro abaixo para cada uma das funções deste exercício:
  • Dê o domínio de f;
  • Estude os intervalos onde f é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos;
  • Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem;
  • Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem;
  • Esboce o gráfico.