Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles como máximo ou mínimo, local ou global. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a inclinação da função é zero, que são os pontos críticos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é igual a zero, porque esses valores de
são os candidatos a pontos críticos.
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada, que nos diz se o ponto é um ponto de mínimo (quando a segunda derivada é positiva) ou de máximo (quando é negativa).
A segunda derivada de
é:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico.
Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo local.
Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Mínimo local. -
: Máximo local.
Não há máximos ou mínimos globais, pois a função é do terceiro grau e vai para
e
quando
tende a
e
, respectivamente.
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Com ajuda da primeira e da segunda derivada das funções faça um esboço do seu gráfico, confira seu resultado no Geogebra.
$f(x)=8 x-1,3 \leq x \leq \infty$
Use o roteiro abaixo para cada uma das funções deste exercício:
- Dê o domínio de
; - Estude os intervalos onde
é crescente ou decrescente, destacando os pontos críticos; - Encontre os máximos ou mínimos locais ou absolutos, se existirem;
- Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem;
- Esboce o gráfico.