Com ajuda da primeira e da segunda derivada das funções faça um esboço do seu gráfico, confira seu resultado no Geogebra.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício que pede para fazer um esboço do gráfico de uma função usando a primeira e a segunda derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo, onde usamos derivadas para entender o comportamento de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a primeira derivada (para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, além de máximos e mínimos) e a segunda derivada (para encontrar a concavidade e pontos de inflexão).

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função. A primeira derivada, denotada por , nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Por exemplo, se , a função está crescendo; se , está decrescendo.

Passo 3

Depois de encontrar , vamos igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos: . Esses pontos nos indicam possíveis máximos ou mínimos locais da função. Para cada ponto crítico, vamos analisar o sinal da derivada nas proximidades para determinar se é um máximo ou um mínimo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, . A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função. Se , a função é côncava para cima (parece um “sorriso”); se , é côncava para baixo (parece uma “tristeza”).

Passo 5

Com , identificamos possíveis pontos de inflexão, onde a concavidade muda. Isso acontece quando e há uma mudança no sinal da segunda derivada.

Passo 6

Depois de analisar as derivadas, vamos usar essas informações para esboçar o gráfico da função. Pontos críticos e pontos de inflexão ajudarão a definir a forma geral do gráfico.

Passo 7

Por fim, para conferir se nosso esboço está correto, vamos usar o Geogebra. Basta inserir a função no software e comparar o gráfico gerado com o nosso esboço.

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos esboçar o gráfico da função utilizando a primeira e a segunda derivada e confirmar a precisão do esboço com o Geogebra.

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