Com ajuda da primeira e da segunda derivada das funções faça um esboço do seu gráfico, confira seu resultado no Geogebra.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício que pede para fazer um esboço do gráfico de uma função usando a primeira e a segunda derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo, onde usamos derivadas para entender o comportamento de funções. Para resolver, vamos precisar calcular a primeira derivada (para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, além de máximos e mínimos) e a segunda derivada (para encontrar a concavidade e pontos de inflexão).
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função. A primeira derivada, denotada por
, nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Por exemplo, se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo.
Passo 3
Depois de encontrar
, vamos igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos:
. Esses pontos nos indicam possíveis máximos ou mínimos locais da função. Para cada ponto crítico, vamos analisar o sinal da derivada nas proximidades para determinar se é um máximo ou um mínimo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada,
. A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função. Se
, a função é côncava para cima (parece um “sorriso”); se
, é côncava para baixo (parece uma “tristeza”).
Passo 5
Com
, identificamos possíveis pontos de inflexão, onde a concavidade muda. Isso acontece quando
e há uma mudança no sinal da segunda derivada.
Passo 6
Depois de analisar as derivadas, vamos usar essas informações para esboçar o gráfico da função. Pontos críticos e pontos de inflexão ajudarão a definir a forma geral do gráfico.
Passo 7
Por fim, para conferir se nosso esboço está correto, vamos usar o Geogebra. Basta inserir a função no software e comparar o gráfico gerado com o nosso esboço.
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos esboçar o gráfico da função utilizando a primeira e a segunda derivada e confirmar a precisão do esboço com o Geogebra.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada das funções abaixo com as regras de derivação:
Resolva os Problemas de Otimização (faça ao menos 4)
Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global:
Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global: