Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global:
Passo 1
Vamos analisar o exercício: Encontrar os pontos críticos e classificá-los como máximo ou mínimo, local ou global para a função
.
Conteúdo da matéria: Para resolver essa questão, vamos usar cálculo diferencial, especificamente noções sobre derivadas e pontos críticos de funções.
O que vamos precisar:
- Saber calcular a derivada de uma função.
- Entender o que são pontos críticos.
- Conhecer os métodos para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, locais ou globais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
, pois os pontos críticos ocorrem onde essa derivada é igual a zero ou não existe.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação
:
Portanto, o ponto crítico ocorre em
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico (ou seja, determinar se é um máximo ou mínimo), podemos analisar a segunda derivada da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Como a segunda derivada
é positiva, isso indica que a função é côncava para cima naquele ponto, ou seja, o ponto crítico é um mínimo.
Passo 5
Como a função
é uma função quadrática com coeficiente de
positivo, ela representa uma parábola que se abre para cima. Isso significa que o ponto mínimo encontrado é também o mínimo global da função, já que não há outros pontos críticos e a função tende ao infinito positivo nas extremidades.
Resposta
O ponto crítico está em
e é um mínimo global da função
.
Exercícios relacionados
Com ajuda da primeira e da segunda derivada das funções faça um esboço do seu gráfico, confira seu resultado no Geogebra.
Encontre a derivada das funções abaixo com as regras de derivação:
Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global:
$f(x)=8 x-1,3 \leq x \leq \infty$