Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global: f(x) = 3x^2 - 12x + 5

Passo 1

Vamos analisar o exercício: Encontrar os pontos críticos e classificá-los como máximo ou mínimo, local ou global para a função .
Conteúdo da matéria: Para resolver essa questão, vamos usar cálculo diferencial, especificamente noções sobre derivadas e pontos críticos de funções.
O que vamos precisar:
  • Saber calcular a derivada de uma função.
  • Entender o que são pontos críticos.
  • Conhecer os métodos para classificar esses pontos como máximos ou mínimos, locais ou globais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , pois os pontos críticos ocorrem onde essa derivada é igual a zero ou não existe.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação :
Portanto, o ponto crítico ocorre em .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico (ou seja, determinar se é um máximo ou mínimo), podemos analisar a segunda derivada da função.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de :
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função é côncava para cima naquele ponto, ou seja, o ponto crítico é um mínimo.

Passo 5

Como a função é uma função quadrática com coeficiente de positivo, ela representa uma parábola que se abre para cima. Isso significa que o ponto mínimo encontrado é também o mínimo global da função, já que não há outros pontos críticos e a função tende ao infinito positivo nas extremidades.

Resposta

O ponto crítico está em e é um mínimo global da função .

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Encontre os pontos críticos e os classifique em máximo ou mínimo, local ou global: f(x) = x^3 - 3x + 1
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