Encontre os pontos críticos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
,
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver a segunda equação primeiro, pois parece mais simples:
Isso nos dá duas possibilidades:
a)
⇒
b)
⇒
(desde que
)
Vamos analisar cada caso.
Caso a:
Substituindo
na primeira equação:
Isso não é possível, então não há ponto crítico quando
.
Caso b:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Isso nos dá:
Já vimos que
não funciona. Então:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
.
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Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a parte superior da esfera
.
Resp.: .
Resp.:
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é a parte superior da esfera
. (Note que
não é fechada.) Resp.:
.
Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
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