Encontre os pontos críticos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a , :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver a segunda equação primeiro, pois parece mais simples:
Isso nos dá duas possibilidades:
a)
b) (desde que )
Vamos analisar cada caso.
Caso a:
Substituindo na primeira equação:
Isso não é possível, então não há ponto crítico quando .
Caso b:
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Isso nos dá:
Já vimos que não funciona. Então:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que é a parte superior da esfera .
Resp.: .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que é a parte superior da esfera . (Note que não é fechada.) Resp.: .
Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge: