Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se podemos usar o Teste da Integral para saber se a série converge ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e quando ele pode ser aplicado.

Passo 2

Primeiro, o Teste da Integral é uma ferramenta que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas. Ele funciona assim: se você tem uma série da forma , onde e é uma função positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 3

Vamos verificar se a função atende aos requisitos:
  1. Positiva: Para todo , , então .
  2. Contínua: A função é contínua para , já que não há divisões por zero ou outras descontinuidades.
  3. Decrescente: A derivada de é , que é negativa para todo . Portanto, está decrescendo.
Como a função cumpre todas as condições, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral .
Vamos fazer uma substituição simples:
  • Seja , então ou .
A integral fica:
Agora, avaliamos o limite quando tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge para o infinito.

Resposta

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Exercícios relacionados

Encontre os pontos críticos de .
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que é a parte superior da esfera .
Resp.: .
Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):