Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se podemos usar o Teste da Integral para saber se a série
converge ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Integral e quando ele pode ser aplicado.
Passo 2
Primeiro, o Teste da Integral é uma ferramenta que ajuda a determinar a convergência de séries infinitas. Ele funciona assim: se você tem uma série da forma
, onde
e
é uma função positiva, contínua e decrescente para
, então a série converge se e somente se a integral
converge.
Passo 3
Vamos verificar se a função
atende aos requisitos:
- Positiva: Para todo
, , então . - Contínua: A função é contínua para
, já que não há divisões por zero ou outras descontinuidades. - Decrescente: A derivada de
é , que é negativa para todo . Portanto, está decrescendo.
Como a função cumpre todas as condições, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
.
Vamos fazer uma substituição simples:
- Seja
, então ou .
A integral fica:
Agora, avaliamos o limite quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge para o infinito.
Resposta
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos críticos de
.
Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
é a parte superior da esfera
.
Resp.: .
Resp.:
Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):