Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
sumn=1^infty n1+n^2

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos que verificar se o Teste da Integral pode ser aplicado à série sumn=1^infty n1+n^2 e, se possível, determinar se ela converge. Vamos precisar entender o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série em particular.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o Teste da Integral. Ele nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando-as com integrais. Para aplicá-lo, a função associada aos termos da série deve ser contínua, positiva e decrescente a partir de algum ponto.

Passo 3

Vamos considerar a função f(x) = x1+x^2. Precisamos verificar se ela é contínua para x >= 1. Observando, vemos que o denominador 1 + x^2 nunca é zero para x >= 1, então f(x) é contínua nesse intervalo.

Passo 4

Agora, verificamos se a função é positiva. Para x >= 1, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então f(x) > 0 nesse intervalo.

Passo 5

Em seguida, precisamos checar se f(x) é decrescente para x >= 1. Calculamos a derivada de f(x):
f'(x) = (1+x^2)(1) - x(2x)(1+x^2)^2 = 1 + x^2 - 2x^2(1+x^2)^2 = 1 - x^2(1+x^2)^2
Para x >= 1, 1 - x^2 é negativo, o que significa que f'(x) <= 0. Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 6

Como a função atende aos critérios de continuidade, positividade e ser decrescente para x >= 1, podemos aplicar o Teste da Integral. Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
integral1^infty x1+x^2 dx

Passo 7

Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = 1 + x^2, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2. Substituindo na integral:
integral x1+x^2 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + x^2) + C

Passo 8

Avaliando a integral imprópria:
integral1^infty x1+x^2 dx = limt to infty [ 12 ln(1 + t^2) - 12 ln(2) ]
À medida que t tende ao infinito, ln(1 + t^2) também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n1+n^2 diverge.

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