Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos que verificar se o Teste da Integral pode ser aplicado à série
e, se possível, determinar se ela converge. Vamos precisar entender o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série em particular.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é o Teste da Integral. Ele nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando-as com integrais. Para aplicá-lo, a função associada aos termos da série deve ser contínua, positiva e decrescente a partir de algum ponto.
Passo 3
Vamos considerar a função
. Precisamos verificar se ela é contínua para
. Observando, vemos que o denominador
nunca é zero para
, então
é contínua nesse intervalo.
Passo 4
Agora, verificamos se a função é positiva. Para
, tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então
nesse intervalo.
Passo 5
Em seguida, precisamos checar se
é decrescente para
. Calculamos a derivada de
:
Para
,
é negativo, o que significa que
. Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.
Passo 6
Como a função atende aos critérios de continuidade, positividade e ser decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral. Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Passo 7
Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 8
Avaliando a integral imprópria:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Encontre os pontos críticos de
.
Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):
Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz: