Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos que verificar se o Teste da Integral pode ser aplicado à série e, se possível, determinar se ela converge. Vamos precisar entender o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série em particular.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o Teste da Integral. Ele nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando-as com integrais. Para aplicá-lo, a função associada aos termos da série deve ser contínua, positiva e decrescente a partir de algum ponto.

Passo 3

Vamos considerar a função . Precisamos verificar se ela é contínua para . Observando, vemos que o denominador nunca é zero para , então é contínua nesse intervalo.

Passo 4

Agora, verificamos se a função é positiva. Para , tanto o numerador quanto o denominador são positivos, então nesse intervalo.

Passo 5

Em seguida, precisamos checar se é decrescente para . Calculamos a derivada de :
Para , é negativo, o que significa que . Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 6

Como a função atende aos critérios de continuidade, positividade e ser decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral. Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:

Passo 7

Para resolver a integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 8

Avaliando a integral imprópria:
À medida que tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A série diverge.

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