Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Esboce o gráfico de f: f(x) = { x + 1 se x <= 1, 1/x se 1 < x < 3, raiz(x - 3) se x >= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos onde a função é descontínua e, depois, esboçar o gráfico dela. A função é definida por partes:
Vamos precisar entender o que é continuidade de função, verificar os pontos onde a definição da função muda (nesse caso, e ) e analisar o comportamento da função nessas regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar esses três pontos nos valores críticos da nossa função, e .

Passo 3

Analisando em :
  • Valor da função em :
  • Limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
  • Comparação:
    e . Como eles não são iguais, há uma descontinuidade em .
Analisando em :
  • Valor da função em :
  • Limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ):
  • Comparação:
    e . Como os limites laterais não são iguais, também temos uma descontinuidade em .

Passo 4

Além dos pontos críticos, vamos verificar se a função é contínua nas demais partes:
  • Para : A função é uma reta, e retas são contínuas em todo o seu domínio.
  • Para : A função é contínua nesse intervalo, já que o denominador nunca é zero.
  • Para : A função é contínua para , pois a raiz quadrada está bem definida nesse intervalo.

Resposta

A função é descontínua nos pontos e .

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