Encontre os pontos nos quais é descontínua. Esboce o gráfico de :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos onde a função é descontínua e, depois, esboçar o gráfico dela. A função é definida por partes:
Vamos precisar entender o que é continuidade de função, verificar os pontos onde a definição da função muda (nesse caso, e ) e analisar o comportamento da função nessas regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar esses três pontos nos valores críticos da nossa função, e .
Passo 3
Analisando em :
Valor da função em :
Limite quando se aproxima de 1 pela direita ():
Comparação: e . Como eles não são iguais, há uma descontinuidade em .
Analisando em :
Valor da função em :
Limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ():
Limite quando se aproxima de 3 pela direita ():
Comparação: e . Como os limites laterais não são iguais, também temos uma descontinuidade em .
Passo 4
Além dos pontos críticos, vamos verificar se a função é contínua nas demais partes:
Para : A função é uma reta, e retas são contínuas em todo o seu domínio.
Para : A função é contínua nesse intervalo, já que o denominador nunca é zero.
Para : A função é contínua para , pois a raiz quadrada está bem definida nesse intervalo.