Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Esboce o gráfico de f: f(x) = { x + 2 se x < 0, e^x se 0 <= x <= 1, 2 - x se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos onde a função é descontínua e desenhar o gráfico dela. A matéria envolvida aqui é análise de funções por partes e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função está contínua nos pontos onde a definição dela muda, que são em e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita, e também é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em .
Para , a função é .
O limite quando se aproxima de 0 pela esquerda é:
Para , a função é .
O limite quando se aproxima de 0 pela direita é:
O valor da função em é .
Como e , os limites não são iguais. Portanto, a função é descontínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em .
Para , a função é .
O limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
Para , a função é .
O limite quando se aproxima de 1 pela direita é:
O valor da função em é .
Aqui, e são diferentes. Então, a função também é descontínua em .

Passo 5

Com base nisso, os pontos de descontinuidade da função são em e .
Para esboçar o gráfico:
  • Para , a função é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 2.
  • Para , a função segue a curva de .
  • Para , a função é uma reta decrescente com inclinação -1 e intercepto em 2.
Nos pontos e , há “saltos” no gráfico devido às descontinuidades.

Resposta

A função é descontínua nos pontos e . O gráfico de apresenta saltos nesses pontos.

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