Encontre os pontos nos quais é descontínua. Esboce o gráfico de :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos onde a função é descontínua e desenhar o gráfico dela. A matéria envolvida aqui é análise de funções por partes e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função está contínua nos pontos onde a definição dela muda, que são em e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita, e também é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em .
Para , a função é .
O limite quando se aproxima de 0 pela esquerda é:
Para , a função é .
O limite quando se aproxima de 0 pela direita é:
O valor da função em é .
Como e , os limites não são iguais. Portanto, a função é descontínua em .
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em .
Para , a função é .
O limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
Para , a função é .
O limite quando se aproxima de 1 pela direita é:
O valor da função em é .
Aqui, e são diferentes. Então, a função também é descontínua em .
Passo 5
Com base nisso, os pontos de descontinuidade da função são em e .
Para esboçar o gráfico:
Para , a função é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 2.
Para , a função segue a curva de .
Para , a função é uma reta decrescente com inclinação -1 e intercepto em 2.
Nos pontos e , há “saltos” no gráfico devido às descontinuidades.
Resposta
A função é descontínua nos pontos e . O gráfico de apresenta saltos nesses pontos.