Encontre: A posição de uma partícula no instante t em função de suas velocidades e aceleração iniciais, sabendo que sua aceleração é dada por a(t) = sen(ω t) cos²(ω t), ω real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a posição de uma partícula em função do tempo t, sabendo que a aceleração dela é . Vamos usar os conceitos de cinemática e cálculo integral para resolver isso. Precisamos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Para encontrar a velocidade v(t), vamos integrar a aceleração:
Aqui, é a velocidade inicial da partícula.

Passo 3

Vamos integrar a aceleração dada:
Podemos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que . Então:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para :
  1. Para , podemos usar a identidade de produto para senos e cossenos:
Então:
Integrando:

Passo 5

Juntando todas as integrações, temos a velocidade:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora que temos a velocidade, vamos integrar novamente para encontrar a posição x(t):
Onde é a posição inicial.

Passo 7

Vamos integrar cada termo da velocidade:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Juntando todas as integrações, temos a posição:

Resposta

A posição da partícula no instante t é dada por:

Exercícios relacionados

Classifique a equação diferencial como linear ou não linear. Justifique.
Calcule: integral 2 x+1x^3-x^2-x+1 d x
(g) lim x 1^- raiz2 x(x-1)|x-1|.
Resolva o PVI a seguir, apresentando a solução na forma implícita.
d/y = 2x/(1 + 2y), y(2) = 0