Encontre: A posição de uma partícula no instante
em função de suas velocidades e aceleração iniciais, sabendo que sua aceleração é dada por
real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a posição de uma partícula em função do tempo
, sabendo que a aceleração dela é
. Vamos usar os conceitos de cinemática e cálculo integral para resolver isso. Precisamos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Para encontrar a velocidade
, vamos integrar a aceleração:
Aqui,
é a velocidade inicial da partícula.
Passo 3
Vamos integrar a aceleração dada:
Podemos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que
. Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
, podemos usar a identidade de produto para senos e cossenos:
Então:
Integrando:
Passo 5
Juntando todas as integrações, temos a velocidade:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora que temos a velocidade, vamos integrar novamente para encontrar a posição
:
Onde
é a posição inicial.
Passo 7
Vamos integrar cada termo da velocidade:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Juntando todas as integrações, temos a posição:
Resposta
A posição da partícula no instante
é dada por:
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Classifique a equação diferencial como linear ou não linear. Justifique.
Calcule:
(g)
.
Resolva o PVI a seguir, apresentando a solução na forma implícita.