Calcule: integral 2 x+1x^3-x^2-x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 2 x+1x^3-x^2-x+1 , dx. Aqui estamos lidando com uma integral que envolve frações racionais, ou seja, o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar a expressão para integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3-x^2-x+1. Para isso, podemos agrupar os termos:
x^3-x^2-x+1 = x^2(x - 1) -1(x -1) = (x^2 -1)(x -1)
Agora, reconhecemos que x^2 -1 é uma diferença de quadrados, então:
(x^2 -1) = (x -1)(x +1)
Portanto, o denominador fatorado fica:
(x -1)^2(x +1)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais:
2x +1(x -1)^2(x +1) = Ax -1 + B(x -1)^2 + Cx +1
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x -1)^2(x +1) para eliminar as frações:
2x +1 = A(x -1)(x +1) + B(x +1) + C(x -1)^2
Expandindo os termos:
2x +1 = A(x^2 -1) + B(x +1) + C(x^2 -2x +1)

Passo 5

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(A + C)x^2 + (-2C)x + (-A + B + C) = 2x +1
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes, temos:
A + C = 0 -2C = 2 -A + B + C = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da segunda equação: -2C = 2 C = -1
  2. Substituindo C na primeira equação: A -1 = 0 A = 1
  3. Substituindo A e C na terceira equação: -1 + B -1 = 1 B = 3

Passo 7

Agora, substituímos os valores de A, B e C nas frações parciais:
2x +1(x -1)^2(x +1) = 1x -1 + 3(x -1)^2 - 1x +1

Passo 8

Finalmente, integramos cada termo separadamente:
integral 1x -1 , dx = ln|x -1| + C
integral 3(x -1)^2 , dx = -3x -1 + C
integral -1x +1 , dx = -ln|x +1| + C

Resposta

Portanto, a integral é:
ln|x -1| - 3x -1 - ln|x +1| + C

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