Resolva o PVI a seguir, apresentando a solução na forma implícita.
d/y = 2x/(1 + 2y), y(2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial . Para isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação diferencial é separável se podemos escrever a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e as com do outro.
A equação dada é:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Agora, temos as variáveis separadas: de um lado e do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação separada. Integrar significa encontrar a antiderivada, ou seja, a função que, ao ser derivada, nos dá de volta a função original.
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 4

Vamos juntar os resultados das integrações:
Podemos combinar as constantes de integração e em uma única constante :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:

Passo 6

Substituindo de volta na equação geral:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução implícita do PVI é:

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