Resolva o PVI a seguir, apresentando a solução na forma implícita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial
. Para isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação diferencial é separável se podemos escrever a equação de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
do outro.
A equação dada é:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Agora, temos as variáveis separadas:
de um lado e
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação separada. Integrar significa encontrar a antiderivada, ou seja, a função que, ao ser derivada, nos dá de volta a função original.
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 4
Vamos juntar os resultados das integrações:
Podemos combinar as constantes de integração
e
em uma única constante
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Passo 6
Substituindo
de volta na equação geral:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.
Resposta
A solução implícita do PVI é:
Exercícios relacionados
(g)
.
Encontre: A posição de uma partícula no instante
em função de suas velocidades e aceleração iniciais, sabendo que sua aceleração é dada por
real.
(b) Em quais pontos
existe
?
Calcule: