Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Raiz e verificar os pontos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência. Para isso, usamos o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite:
Passo 4
Vamos analisar o limite ( ln nn )^1/n = (ln n)^1/nn^1/n . Sabemos que:
limn to infty ( ln nn )^1/n = 1
Sabemos que e , então:
Passo 5
Assim, o limite total fica:
limn to infty raiz[n]| ln nn x^n | = |x|
Para que a série convirja, esse limite deve ser menor que 1:
|x| < 1
Passo 6
Portanto, o raio de convergência é 1.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge quando , ou seja, para . Mas precisamos verificar os extremos e .
Passo 8
Para sumn=4^infty ln nn :
A série se torna:
sumn=4^infty ln nn (-1)^n
Este é equivalente a , que é divergente por comparação com a série harmônica .
Para :
A série se transforma em:
Esta é uma série alternada. Para que uma série alternada converge, é necessário que os termos sejam decrescentes e tendam a zero. De fato, tende a zero quando tende ao infinito e é decrescente para suficientemente grande.
Passo 9
Portanto, a série converge condicionalmente para .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .