Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências. sumn=4^infty ln nn x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Raiz e verificar os pontos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência . Para isso, usamos o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite:
limn to infty raiz[n]| ln nn x^n | = limn to infty ( ln nn )^1/n |x|

Passo 4

Vamos analisar o limite ( ln nn )^1/n = (ln n)^1/nn^1/n . Sabemos que:
limn to infty ( ln nn )^1/n = 1
Sabemos que e , então:

Passo 5

Assim, o limite total fica:
limn to infty raiz[n]| ln nn x^n | = |x|
Para que a série convirja, esse limite deve ser menor que 1:
|x| < 1

Passo 6

Portanto, o raio de convergência é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge quando , ou seja, para . Mas precisamos verificar os extremos e .

Passo 8

Para sumn=4^infty ln nn :
A série se torna:
sumn=4^infty ln nn (-1)^n
Este é equivalente a , que é divergente por comparação com a série harmônica .
Para :
A série se transforma em:
Esta é uma série alternada. Para que uma série alternada converge, é necessário que os termos sejam decrescentes e tendam a zero. De fato, tende a zero quando tende ao infinito e é decrescente para suficientemente grande.

Passo 9

Portanto, a série converge condicionalmente para .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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