Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências. sumn=2^infty (x+2)^n2^n ln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=2^infty (x+2)^n2^n ln n
Isso quer dizer que a gente vai descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita que envolve termos da forma , onde é o centro da série. No nosso caso, temos , então o centro é .
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar onde a série converge. A ideia é analisar o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, temos que calcular:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an+1an = (x+2)^n+12^n+1 ln (n+1) cdot 2^n ln n(x+2)^n = (x+2)2 cdot ln nln (n+1) . Então:
Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty | (x+2)2 cdot ln nln (n+1) | = | x+22 | cdot limn to infty ln nln (n+1)
Sabemos que L = | x+22 | , então:
| x+22 | < 1
Para que a série converja, :

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
| x + 2 | < 2
Isso significa que -2 < x + 2 < 2 está entre -2 e 2:
-4 < x < 0
Subtraindo 2 de todos os lados:
Então, o raio de convergência é 2, e o intervalo de convergência preliminar é .

Passo 5

Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Para sumn=2^infty (-4 + 2)^n2^n ln n = sumn=2^infty (-2)^n2^n ln n = sumn=2^infty (-1)^nln n :
A série fica:
sumn=2^infty (0 + 2)^n2^n ln n = sumn=2^infty 2^n2^n ln n = sumn=2^infty 1ln n
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem de forma monótona para zero, a série converge. E de fato, diminui e tende a zero. Então, a série converge para .
Para :
A série fica:
Essa série é semelhante à , que é divergente, pois o denominador cresce mais lentamente que qualquer potência positiva de . Portanto, a série não converge para .

Resposta

O raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é .

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